北海道大学 2008年度後期・理系数学後期第1問解答・解説

問題

2次正方行列 $A$ ， $E$ ， $O$ を

A = (10 a 2), E = (1001), O = (0000)

とする．ただし， $a$ は実数とする．

(1) $A X - X A = O$ となる2次正方行列 $X$ に対して， $X = s E + t A$ となる実数 $s$ ， $t$ が存在することを示せ．

(2) 1と異なる数 $k$ と0と異なる2次正方行列 $Y$ が， $A Y - k Y A = O$ を満たすとする．このような $k$ と $Y$ をすべて求めよ．

出典：北海道大学 2008年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第1問

方針

どちらも一般の2次行列を成分で置いて直接計算する。(1)では $A X - X A = O$ から $w = 0$ ， $v = a (z - u)$ を得て，その形が $s E + t A$ と一致するように $s, t$ を選ぶ。(2)では $A Y - k Y A = O$ の4本の成分方程式を立て， $k = 2$ と $k \neq = 2$ に分ける。さらに問題文で $k \neq = 1$ ， $Y \neq = O$ が指定されているため，零行列しか出ない場合を除外する。

解答

(1)

X = (u w v z)

とおく。積を順に展開すると

A X = (10 a 2) (u w v z) = (u + a w 2 w v + a z 2 z)

であり，

X A = (u w v z) (10 a 2) = (u w a u + 2 v a w + 2 z)

である。したがって

A X - X A = (a w w a z - a u - v - a w)

である。

これが零行列であるから $w = 0, v = a (z - u)$ である。よって

X = (u 0 a (z - u) z)

と書ける。

ここで $t = z - u, s = 2 u - z$ とおくと

s E + t A = s (1001) + t (10 a 2) = (s + t 0 t a s + 2 t)

である。上の $s, t$ を代入すると $s + t = (2 u - z) + (z - u) = u,$ $t a = a (z - u),$ $s + 2 t = (2 u - z) + 2 (z - u) = z$ だから $s E + t A = X$ である。よって示された。

(2)

Y = (u w v z)

とおく。 $A Y$ と $k Y A$ の各成分を比較すると $A Y - k Y A = O$ は次の4本の式と同値である。 $(1 - k) u + a w = 0,$ $(1 - 2 k) v + a z - k a u = 0,$ $(2 - k) w = 0,$ $- k a w + 2 (1 - k) z = 0.$ まず $k = 2$ とする。このとき第1式から $- u + a w = 0$ なので $u = a w$ である。また第4式から $- 2 a w - 2 z = 0$ なので $z = - a w$ である。第2式は $- 3 v + a z - 2 a u = 0$ であり，上の $u, z$ を代入すると $- 3 v - a^{2} w - 2 a^{2} w = 0$ だから $v = - a^{2} w$ である。したがって

Y = w (a 1 - a^{2} - a)

である。 $Y \neq = O$ であるためには $w \neq = 0$ が必要であり，このとき確かに非零行列になる。

次に $k \neq = 2$ とする。第3式より $w = 0$ である。問題文より $k \neq = 1$ でもあるから，第1式と第4式から $u = 0, z = 0$ である。すると第2式は $(1 - 2 k) v = 0$ となる。非零行列 $Y$ を得るには $v \neq = 0$ でなければならないので $1 - 2 k = 0$ すなわち $k = \frac{1}{2}$ である。このとき

Y = (00 v 0) (v \neq = 0)

がすべての解である。

以上より，求める組は

k = 2, Y = w (a 1 - a^{2} - a) (w \neq = 0)

または

k = \frac{1}{2}, Y = (00 v 0) (v \neq = 0)

である。

北海道大学 2008年度後期・理系数学 後期 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

北海道大学 2008年度
後期・理系数学後期第1問