北海道大学 2008年度
後期・理系数学 後期 第3問

解答

(1)

問題文より $\frac{dx}{dt}=\sqrt{g(h_0-ax)}$ である。津波が進む範囲では $h_0-ax>0$ なので速度は正であり，逆数を取って $\frac{dt}{dx}=\frac{1}{\sqrt{g(h_0-ax)}}$ である。

(2)

水深が $d$ となる位置は $h_0-ax=d$ を満たすので $x=\frac{h_0-d}{a}$ である。したがって，その位置に到達する時刻 $T_d$ は $T_d={\int }_0^{(h_0-d)/a}\frac{dx}{\sqrt{g(h_0-ax)}}$ である。

積分の原始関数を明示して求めると $T_d=\frac{1}{\sqrt{g}}{\int }_0^{(h_0-d)/a}(h_0-ax{)}^{-1/2}dx$ であり，$u=h_0-ax$ と見れば $\int (h_0-ax{)}^{-1/2}dx=-\frac{2}{a}\sqrt{h_0-ax}$ である。よって $T_d=\frac{1}{\sqrt{g}}{\left[-\frac{2}{a}\sqrt{h_0-ax}\right]}_0^{(h_0-d)/a}$ となる。上端では $h_0-ax=d$，下端では $h_0-ax=h_0$ だから $T_d=\frac{2}{a\sqrt{g}}(\sqrt{h_0}-\sqrt{d})$ である。

したがって $T={\lim }_{d\to 0}{T}_d=\frac{2\sqrt{h_0}}{a\sqrt{g}}$ である。

次に，位置 $x$ への到達時刻を $t(x)={\int }_0^x\frac{du}{\sqrt{g(h_0-au)}}$ と書くと，上と同じ計算により $t(x)=\frac{2}{a\sqrt{g}}\{\sqrt{h_0}-\sqrt{h_0-ax}\}$ である。時刻 $T/2$ では $t(x)=\frac{T}{2}=\frac{\sqrt{h_0}}{a\sqrt{g}}$ だから

である。両辺に $a\sqrt{g}$ を掛けて $2\{\sqrt{h_0}-\sqrt{h_0-ax}\}=\sqrt{h_0}$ となるので $\sqrt{h_0-ax}=\frac{\sqrt{h_0}}{2}$ である。したがって $h_0-ax=\frac{h_0}{4}$ となり，求める位置は $x=\frac{3h_0}{4a}$ である。

別解。水深 $h=h_0-ax$ を時刻 $t$ の関数と見る。すると $\frac{dh}{dt}=-a\frac{dx}{dt}=-a\sqrt{gh}$ である。$h>0$ の間は

となる。よって $\sqrt{h}=\sqrt{h_0}-\frac{a\sqrt{g}}{2}t$ である。水深が $d$ になる時刻は $\sqrt{d}=\sqrt{h_0}-\frac{a\sqrt{g}}{2}{T}_d$ を解いて $T_d=\frac{2}{a\sqrt{g}}(\sqrt{h_0}-\sqrt{d})$ であり，$d\to 0$ とすれば同じ $T$ を得る。また $t=T/2$ では $\sqrt{h}=\frac{\sqrt{h_0}}{2}$ だから $h=h_0/4$，すなわち $h_0-ax=h_0/4$ となり，やはり $x=\frac{3h_0}{4a}$ である。