北海道大学 2008年度文系数学前期第3問解答・解説

問題

$k$ を実数とし， $a_{1} = 0$ ， $a_{2} = 1$ ， $a_{n + 2} = k a_{n + 1} - a_{n}$ $(n = 1, 2, 3, \dots\dots)$ で数列 ${a_{n}}$ を定める．

(1) $k = 2$ のとき，一般項 $a_{n}$ を求めよ．

(2) すべての $n$ について， $a_{n + 2} - β a_{n + 1} = α (a_{n + 1} - β a_{n})$ を満たす $α$ ， $β$ に対して， $α + β = k$ ， $α β = 1$ が成り立つことを示せ．

(3) (2)において，異なる実数 $α$ と $β$ が存在するための $k$ の条件を求め，そのときの $α$ と $β$ の値を求めよ．

出典：北海道大学 2008年度前期日程第2次学力試験文系前期第3問

方針

(1)は $k = 2$ の漸化式を階差一定の形に直す。(2)は与えられた関係式を展開し，元の漸化式と同じ形になるための係数条件を初期値から取り出す。特に $n = 1$ で $α + β = k$ を先に得てから， $n = 2$ に代入して $α β = 1$ を出す。(3)では $α, β$ が二次方程式の2解になることを使い，異なる実数解の条件を判別式で判定する。

解答

(1)

$k = 2$ のとき，漸化式は $a_{n + 2} = 2 a_{n + 1} - a_{n}$ である。これを移項すると $a_{n + 2} - a_{n + 1} = a_{n + 1} - a_{n}$ となる。したがって階差 $a_{n + 1} - a_{n}$ は一定である。

初期値より $a_{2} - a_{1} = 1 - 0 = 1$ だから，すべての $n$ について $a_{n + 1} - a_{n} = 1$ である。よって $a_{n} = a_{1} + (n - 1) \cdot 1 = n - 1$ である。

(2)

与えられた式 $a_{n + 2} - β a_{n + 1} = α (a_{n + 1} - β a_{n})$ を展開すると $a_{n + 2} - (α + β) a_{n + 1} + α β a_{n} = 0$ である。

まず $n = 1$ を代入する。 $a_{1} = 0$ ， $a_{2} = 1$ ， $a_{3} = k$ であるから $k - β = α$ となる。したがって $α + β = k$ である。

次に $n = 2$ を代入する。漸化式より $a_{4} = k a_{3} - a_{2} = k^{2} - 1$ であるから $k^{2} - 1 - β k = α (k - β)$ を得る。すでに $α = k - β$ が分かっているので $k^{2} - 1 - β k = (k - β)^{2}$ である。整理すると $k β - β^{2} = 1$ すなわち $β (k - β) = 1$ である。ここで $k - β = α$ だから $α β = 1$ である。

(3)

(2)より $α + β = k, α β = 1$ である。したがって $α, β$ は二次方程式 $t^{2} - k t + 1 = 0$ の2つの解である。

この二次方程式が異なる実数解をもつ条件は，判別式が正であること，すなわち $k^{2} - 4 > 0$ である。よって $k < - 2 または k > 2$ である。

このとき解の公式より， $α, β$ は順序を除いて $\frac{k + k ^{2} - 4}{2}, \frac{k - k ^{2} - 4}{2}$ である。

北海道大学 2008年度文系数学 前期 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

北海道大学 2008年度
文系数学前期第3問