問題
平面において，放物線と軸で囲まれた図形に含まれ，とを結ぶ線分を1辺とする長方形を考える．ただし，とする．このような長方形の面積の最大値をとする．
(1) をの式で表せ．
(2) の値が最大となるの値を求め，関数のグラフをかけ．
出典：北海道大学 2008年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第1問
方針
高さは縦の辺そのものなので，まず水平線 が放物線と交わるもう一つの点を求める。長方形を図形内に入れるには，上辺がこの水平線上で放物線の内側に収まる必要があるため，横幅の最大値は から対称な交点 までで決まる。得られた は 上の三次関数なので，微分で増減と最大点を調べ，端点は定義域に含まれないこともグラフで明示する。
解答
(1)
放物線を と書く。縦の辺は と を結ぶ線分であるから，その長さは である。
この長方形の上辺は水平線 上にある。この水平線と放物線の交点を求めると すなわち である。左辺は と因数分解できるので，交点の 座標は である。
いま だから であり，点 はその高さでの左側の交点である。したがって，上辺を図形内に保ったまま長方形を最も広くするとき，横の長さは である。よって である。
(2)
(1)より である。微分すると であるから， となるのは である。このうち に入るのは だけである。
また より， では ， では である。したがって は で最大となる。その最大値は である。
グラフは を定義域とする三次関数 のグラフである。， のとき となるが， は定義域に含まれない。したがって，端点 ， は白丸で表し，その間で増加して を通った後，減少して に近づく形になる。