問題
を定数とする．平面上の点の集合，を次のように定める．
(1) となるようなの値の範囲を求めよ．（ただし，は空集合を表す）
(2) いかなる実数に対してもとなるような点の集合を求め，平面上に図示せよ．
出典：北海道大学 2008年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第2問
方針
は中心 ，半径 の円板である。(1)は円板と直線の共有点がない条件を，中心から直線までの距離が半径より大きい条件に直す。(2)は点 を固定し，すべての実数 について が円板の外側にある条件を の二次式が常に正になる条件として処理する。境界上に入る場合も なので，不等号は最後まで厳密に扱う。
解答
(1)
は で表される円板であり，中心は ，半径は である。
直線 は と書ける。中心 からこの直線までの距離は である。円板と直線が共有点をもたないためには，この距離が半径より大きければよい。よって が必要十分である。
両辺はともに 以上なので，2乗して を得る。整理すると すなわち である。左辺の零点は だから，求める範囲は である。
(2)
点 がどの にも入らない条件は，すべての実数 について が成り立つことである。両辺を4倍して左辺に集めると であり，これは となる。
ここで についての二次式 を考える。係数 は正であるから， がすべての実数 で成り立つためには，判別式が負であればよい。判別式を とすると であり，整理して となる。
したがって条件は すなわち である。これは と同値であるから，2直線 を境界とし，その上側と下側に開く2つの領域である。境界上ではある に対して円板に接するため，境界は含まない。