北海道大学 2007年度後期・理系数学後期第4問解答・解説

問題

実数 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ を定数とする．行列 $A = (a c b d)$ の定める座標平面上の点の移動を考える．

(1) 実数 $α$ ， $β$ ， $γ$ を定数とする．実数 $t$ が動くとき，点 $(α t + β, t + γ)$ が $A$ による移動で移される点の軌跡は，ある1点か，またはある1つの直線になることを示せ．

(2) 直線 $x = 1$ 上の異なる2点が， $A$ による移動で原点を通らない直線上の異なる2点に移るならば， $A$ は逆行列をもつことを示せ．

出典：北海道大学 2007年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第4問

方針

(1)は点 $(α t + β, t + γ)$ に行列を掛け，像の座標が $t$ の一次式で表されることを確認する。 $t$ の係数ベクトルが零なら1点，零でなければ直線である。(2)は直線 $x = 1$ 上の点 $(1, t)$ の像を $(a, c) + t (b, d)$ と書く。異なる2点が異なる2点に移るので $(b, d) \neq = (0, 0)$ 。もし逆行列をもたなければ2つの列ベクトルが従属し，像の直線が原点を通ることになって仮定に反する。

解答

(1)

点 $(α t + β, t + γ)$ を列ベクトルで表し，行列 $A$ を掛けると

(a c b d) (α t + β t + γ) = ((a α + b) t + a β + bγ (c α + d) t + c β + d γ)

である。

ここで $t$ の係数ベクトル $(a α + b, c α + d)$ が $(0, 0)$ なら，像は $t$ によらず1点である。そうでないなら，像は

(a β + bγ c β + d γ) + t (a α + b c α + d)

と表されるので，1つの直線上を動く。よって像の軌跡は，ある1点またはある1つの直線である。

(2)

直線 $x = 1$ 上の点を $(1, t)$ とおく。この点の像は

A (1 t) = (a + b t c + d t) = (a c) + t (b d)

である。異なる2点が異なる2点に移るので，方向ベクトル $(b, d)$ は零ベクトルではない。

ここで，もし $A$ が逆行列をもたないと仮定する。このとき $a d - b c = 0$ である。 $(b, d) \neq = (0, 0)$ だから，列ベクトル $(a, c)$ は $(b, d)$ の実数倍である。すなわち，ある実数 $λ$ を用いて $(a, c) = λ (b, d)$ と書ける。

すると直線 $x = 1$ の像は $(a, c) + t (b, d) = (λ + t) (b, d)$ で表される。 $t = - λ$ とすれば像は原点になるので，この像の直線は原点を通る。これは，像が原点を通らない直線上の異なる2点に移るという仮定に反する。

したがって $A$ は逆行列をもつ。

北海道大学 2007年度後期・理系数学 後期 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

北海道大学 2007年度
後期・理系数学後期第4問