北海道大学 2007年度
後期・理系数学 後期 第2問
- 試験区分
- 後期日程 第2次学力試験
- 対象
- 理系
- 分野
- 微分、図形と方程式
- 解法
- 体積計算、極限計算、計算整理
- 難易度
- 5 / 10 計算量 4 / 10 目安 —
問題
y=f(x)を正の値をとる微分可能な関数でf′(x)>0とする．
(1) h>0とする．xy平面上の2点P(a,f(a))，Q(a+h,f(a+h))を結ぶ線分をx軸のまわりに1回転させる．そうして得られた円錐(すい)の側面の一部（右図）の面積S(h)を求めよ．
(2) h→+0limhS(h)を求めよ．
出典：北海道大学 2007年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期 第2問
方針
線分 PQ を x 軸のまわりに回転すると，半径 f(a)，f(a+h)，母線長 PQ の円錐台側面になる。したがって側面積公式 π(r1+r2)l を用いて S(h) を表す。極限では S(h)/h に直し，f(a+h)→f(a) と差分商 (f(a+h)−f(a))/h→f′(a) を使う。
解答
(1)
点 P(a,f(a))，Q(a+h,f(a+h)) を結ぶ線分の長さは PQ=h2+{f(a+h)−f(a)}2 である。これを x 軸のまわりに回転すると，半径が f(a) と f(a+h)，母線が PQ の円錐台の側面になる。f(x)>0 なので半径は正である。
円錐台の側面積は π(r1+r2)l であるから S(h)=π{f(a)+f(a+h)}h2+{f(a+h)−f(a)}2 である。
(2)
h>0 なので，(1)の式を h で割ると
hS(h)=π{f(a)+f(a+h)}1+(hf(a+h)−f(a))2
である。f は微分可能なので連続であり，h→+0 のとき f(a+h)→f(a),hf(a+h)−f(a)→f′(a) である。したがって limh→+0hS(h)=2πf(a)1+{f′(a)}2 である。
