北海道大学 2007年度後期・理系数学後期第3問解答・解説

問題

$x y z$ 空間において連立方程式

0 ≦ x ≦ 1, 0 ≦ y ≦ 1, 0 ≦ z ≦ 1

x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x y - 1 ≧ 0

を表す立体を考える．

(1) この立体を平面 $z = t$ で切ったときの断面を $x y$ 平面に図示し，この断面の面積 $S (t)$ を求めよ．

(2) この立体の体積を求めよ．

出典：北海道大学 2007年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第3問

方針

平面 $z = t$ で切ると，条件は単位正方形 $0 ≦ x, y ≦ 1$ の中の $(x - y)^{2} ≧ 1 - t^{2}$ になる。 $r = 1 - t^{2}$ とおけば，これは $∣ x - y ∣ ≧ r$ であり，対角線 $x = y$ から幅 $r$ 以上離れた2つの直角二等辺三角形である。断面積 $(1 - r)^{2}$ を求め， $t$ で0から1まで積分する。 $\int_{0}^{1} 1 - t^{2} d t$ は半径1の4分円の面積である。

解答

(1)

$z = t$ で切る。ただし立体は $0 ≦ z ≦ 1$ にあるので $0 ≦ t ≦ 1$ である。このとき不等式は $x^{2} + y^{2} + t^{2} - 2 x y - 1 ≧ 0$ すなわち $(x - y)^{2} ≧ 1 - t^{2}$ となる。よって $∣ x - y ∣ ≧ 1 - t^{2}$ である。 $r = 1 - t^{2}$ とおく。断面は，単位正方形 $0 ≦ x ≦ 1, 0 ≦ y ≦ 1$ のうち，対角線 $x = y$ から $r$ 以上離れた部分である。これは $y ≦ x - r$ を満たす右下の三角形と， $y ≧ x + r$ を満たす左上の三角形の和である。それぞれの直角辺の長さは $1 - r$ なので，断面積は $S (t) = 2 \cdot \frac{1}{2} (1 - r)^{2} = (1 - r)^{2}$ である。したがって $S (t) = (1 - 1 - t^{2})^{2}$ である。

(2)

体積は断面積を積分して $\int_{0}^{1} S (t) d t = \int_{0}^{1} (1 - 1 - t^{2})^{2} d t$ である。展開すると $(1 - 1 - t^{2})^{2} = 2 - t^{2} - 2 1 - t^{2}$ であるから

\int_{0}^{1} S (t) d t = \int_{0}^{1} (2 - t^{2}) d t - 2 \int_{0}^{1} 1 - t^{2} d t = [2 t - \frac{t ^{3}}{3}]_{0}^{1} - 2 \cdot \frac{π}{4} = \frac{5}{3} - \frac{π}{2}

である。よって求める体積は $\frac{5}{3} - \frac{π}{2}$ である。

北海道大学 2007年度後期・理系数学 後期 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

北海道大学 2007年度
後期・理系数学後期第3問