北海道大学 2007年度
後期・理系数学 後期 第1問

解答

(1)

$t=\sqrt{3}\sin x+\cos x$ とおく。まず $t^2=3{\sin }^{2}x+2\sqrt{3}\sin x\cos x+{\cos }^{2}x$ である。これを $3{\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1+2{\sin }^{2}x,2\sqrt{3}\sin x\cos x=\sqrt{3}\sin 2x$ と直すと $t^2=1+2{\sin }^{2}x+\sqrt{3}\sin 2x$ である。一方，$-\cos 2x=2{\sin }^{2}x-1$ だから $\sqrt{3}\sin 2x-\cos 2x=t^2-2$ となる。したがって $f(x)=t^2+kt-2$ である。

(2)

$k=-1/\sqrt{3}$ のとき，$f(x)=0$ は $t^2-\frac{1}{\sqrt{3}}t-2=0$ である。これを解くと $t=\sqrt{3},t=-\frac{2}{\sqrt{3}}$ である。

ここで $t=\sqrt{3}\sin x+\cos x=2\sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right)$ である。$0<x<\pi$ のとき $\frac{\pi }{6}<x+\frac{\pi }{6}<\frac{7\pi }{6}$ なので $-1<t\leqq 2$ である。したがって $t=-2/\sqrt{3}$ は値域に入らない。 $t=\sqrt{3}$ より $2\sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right)=\sqrt{3}$ である。上の範囲で $\sin (x+\pi /6)=\sqrt{3}/2$ となるのは $x+\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{3},\frac{2\pi }{3}$ であるから $x=\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{2}$ である。

(3)

(1)より，方程式 $f(x)=0$ は $q(t)=t^2+kt-2=0$ と同値である。ただし $0<x<\pi$ に対応する $t$ の値域は $-1<t\leqq 2$ である。

端の値を調べると $q(-1)=-k-1,q(2)=2k+2=2(k+1)$ である。$k\ne -1$ のとき，$q(-1)$ と $q(2)$ は異符号である。したがって連続性により，$-1<t<2$ に $q(t)=0$ を満たす $t$ が存在する。この $t$ は $0<x<\pi$ のある $x$ で実現される。 $k=-1$ のときは $q(t)=t^2-t-2=(t-2)(t+1)$ であり，$t=2$ が値域に含まれる。実際，$t=2$ は $2\sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right)=2$ すなわち $x=\pi /3$ で実現する。

以上より，任意の実数 $k$ に対して，$0<x<\pi$ の範囲で $f(x)=0$ は解をもつ。