問題
一辺の長さが1の正三角形を底面とする四面体を考える．ただし，であり，とする．頂点から三角形におろした垂線の足をとする．
(1) 線分の長さを求めよ．
(2) を用いて線分の長さを表せ．
(3) 四面体が球に内接しているとする．この球の半径をを用いて表せ．
出典：北海道大学 2006年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期 第4問
方針
なので，頂点 から底面へ下ろした垂線の足 は，底面の3頂点から等距離の点，すなわち正三角形 の外心である。(1)は正三角形の外接円半径を求める。(2)は直角三角形 に三平方の定理を用いる。(3)は外接球の中心が対称軸 上にあることを使い，中心を から符号付き距離 の点として，頂点 と までの距離が等しい条件から半径を求める。
解答
(1)
であり， は平面 に垂直である。したがって，直角三角形 ，， において斜辺がすべて ，高さ が共通なので である。よって は正三角形 の外心である。
一辺1の正三角形の外接円半径は，高さ の であるから である。
(2)
三角形 は で直角である。したがって である。， より である。 なので右辺は正であり， である。
(3)
とおく。四面体は底面の正三角形について対称なので，外接球の中心は直線 上にある。球の中心を とし， から 方向への符号付き距離を とする。
球の半径を とすると，底面の頂点 までの距離から である。一方， までの距離から である。したがって となり， である。求める半径は なので，
である。ここで だから である。よって である。