北海道大学 2006年度後期・理系数学後期第2問解答・解説

問題

実数 $a$ ， $b$ ， $n$ は $0 < b < 1 < a$ かつ $n ≧ 2$ をみたすとし

f (a) = \int_{1}^{a} x^{- n} d x, g (b) = \int_{b}^{1} x^{- n} d x

とおく．

(1) $a \to \infty lim \frac{f ( a )}{g ( b )} < 1$ となる $n$ の範囲を求めよ．

(2) $n \to \infty lim \frac{f ( 1 + \frac{1}{n} )}{g ( 1 - \frac{1}{n} )}$ を求めよ．

出典：北海道大学 2006年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第2問

方針

$n ≧ 2$ なので， $x^{- n}$ の積分は $x^{1 - n} / (1 - n)$ で計算できる。(1)は $a \to \infty$ で $a^{1 - n} \to 0$ となることを使い，得られた不等式を $n$ について解く。 $0 < b < 1$ なので $b^{1 - n} = (1/ b)^{n - 1}$ と見て対数をとる。(2)は同じ積分式に $a = 1 + 1/ n$ ， $b = 1 - 1/ n$ を代入し， $(1 + 1/ n)^{n} \to e$ ， $(1 - 1/ n)^{n} \to e^{- 1}$ の標準極限に帰着する。

解答

(1)

$n ≧ 2$ なので $n \neq = 1$ である。したがって

f (a) = \int_{1}^{a} x^{- n} d x = [\frac{x ^{1 - n}}{1 - n}]_{1}^{a} = \frac{1 - a ^{1 - n}}{n - 1}

である。また

g (b) = \int_{b}^{1} x^{- n} d x = [\frac{x ^{1 - n}}{1 - n}]_{b}^{1} = \frac{b ^{1 - n} - 1}{n - 1}

である。

ここで $n > 1$ なので $a^{1 - n} \to 0 (a \to \infty)$ である。よって $lim_{a \to \infty} \frac{f ( a )}{g ( b )} = \frac{1}{b ^{1 - n} - 1}$ である。これが1より小さいためには $\frac{1}{b ^{1 - n} - 1} < 1$ である。分母は正なので，これは $b^{1 - n} - 1 > 1$ すなわち $b^{1 - n} > 2$ と同値である。 $0 < b < 1$ より $1/ b > 1$ であり， $b^{1 - n} = (\frac{1}{b})^{n - 1}$ である。したがって $(n - 1) lo g \frac{1}{b} > lo g 2$ となる。 $lo g \frac{1}{b} > 0$ だから $n > 1 + \frac{lo g 2}{lo g ( 1/ b )}$ である。

(2)

上で得た式を用いると

\frac{f ( 1 + \frac{1}{n} )}{g ( 1 - \frac{1}{n} )} = \frac{1 - ( 1 + \frac{1}{n} ) ^{1 - n}}{( 1 - \frac{1}{n} ) ^{1 - n} - 1}

である。

まず

(1 + \frac{1}{n})^{1 - n} = (1 + \frac{1}{n}) (1 + \frac{1}{n})^{- n} \to 1 \cdot e^{- 1} = e^{- 1}

である。また

(1 - \frac{1}{n})^{1 - n} = (1 - \frac{1}{n}) (1 - \frac{1}{n})^{- n} \to 1 \cdot e = e

である。したがって

n \to \infty lim \frac{f ( 1 + \frac{1}{n} )}{g ( 1 - \frac{1}{n} )} = \frac{1 - e ^{- 1}}{e - 1} = \frac{( e - 1 ) / e}{e - 1} = \frac{1}{e}

である。

北海道大学 2006年度後期・理系数学 後期 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

北海道大学 2006年度
後期・理系数学後期第2問