北海道大学 2006年度後期・理系数学後期第1問解答・解説

問題

$a$ を実数とし，関数 $f (x)$ を

f (x) = a (sin x + cos x) - sin x cos x

によって定義する．ただし， $x$ は実数全体を動くとする．

(1) $t = sin x + cos x$ のとりうる値の範囲を求めよ．

(2) $f (x)$ の最大値が3となるときの $a$ の値を求めよ．

出典：北海道大学 2006年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第1問

方針

$t = sin x + cos x$ と置くと， $t$ の範囲は $[- 2, 2]$ である。また $t^{2} = 1 + 2 sin x cos x$ より $sin x cos x = (t^{2} - 1) /2$ と表せるため， $f (x)$ は $t$ に関する上に凸な二次関数 $- \frac{1}{2} t^{2} + a t + \frac{1}{2}$ になる。頂点 $t = a$ が区間内にある場合と，区間外にある場合に分けて最大値を3にする $a$ を求める。

解答

(1)

$t = sin x + cos x$ とおく。合成すると $sin x + cos x = 2 sin (x + \frac{π}{4})$ である。 $sin (x + \frac{π}{4})$ の値は $- 1$ 以上 $1$ 以下をすべてとるので， $- 2 ≦ t ≦ 2$ である。

(2)

$t^{2} = (sin x + cos x)^{2} = 1 + 2 sin x cos x$ より $sin x cos x = \frac{t ^{2} - 1}{2}$ である。したがって

f (x) = a (sin x + cos x) - sin x cos x = a t - \frac{t ^{2} - 1}{2} = - \frac{1}{2} t^{2} + a t + \frac{1}{2}

である。ただし $t$ の範囲は $- 2 ≦ t ≦ 2$ である。

この二次関数は上に凸で，頂点は $t = a$ である。

まず $∣ a ∣ ≦ 2$ のとき，頂点が区間内にあるので最大値は $- \frac{1}{2} a^{2} + a^{2} + \frac{1}{2} = \frac{a ^{2} + 1}{2}$ である。この場合 $\frac{a ^{2} + 1}{2} ≦ \frac{2 + 1}{2} = \frac{3}{2}$ であり，最大値は3にならない。

次に $a > 2$ のとき，頂点は区間の右側にあるため，最大値は右端 $t = 2$ でとる。したがって $- \frac{1}{2} \cdot 2 + 2 a + \frac{1}{2} = 2 a - \frac{1}{2}$ が3に等しい。よって $2 a = \frac{7}{2}$ となり， $a = \frac{7 2}{4}$ である。これは $a > 2$ を満たす。

同様に $a < - 2$ のとき，最大値は左端 $t = - 2$ でとる。したがって $- \frac{1}{2} \cdot 2 - 2 a + \frac{1}{2} = - 2 a - \frac{1}{2}$ が3に等しい。よって $a = - \frac{7 2}{4}$ である。これは $a < - 2$ を満たす。

以上より $a = \pm \frac{7 2}{4}$ である。

北海道大学 2006年度後期・理系数学 後期 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

北海道大学 2006年度
後期・理系数学後期第1問