北海道大学 2006年度
後期・理系数学 後期 第3問

解答

まず，微分積分学の基本定理より $f^{\prime }(x)=e^x\cos x$ である。$e^x>0$ なので，$f^{\prime }(x)$ の符号は $\cos x$ の符号で決まる。したがって $0\leqq x\leqq 2\pi$ では $0<x<\frac{\pi }{2}\text{および}\frac{3\pi }{2}<x<2\pi$ で $f$ は増加し，$\frac{\pi }{2}<x<\frac{3\pi }{2}$ で $f$ は減少する。

よって最大値の候補は $x=\frac{\pi }{2}\text{または}x=2\pi$ である。左端 $x=0$ は増加の始点なので最大ではない。

値を比較するために $f(x)$ を求める。部分積分，または微分して確認することにより $\int e^t\cos tdt=\frac{e^t(\sin t+\cos t)}{2}$ である。したがって

である。

よって $f\left(\frac{\pi }{2}\right)=\frac{e^{\pi /2}-1}{2}$ であり，$f(2\pi )=\frac{e^{2\pi }-1}{2}$ である。明らかに $e^{2\pi }>e^{\pi /2}$ だから $f(2\pi )>f\left(\frac{\pi }{2}\right)$ である。

したがって最大値をとるのは $\boxed{x=2\pi }$ であり，最大値は $\boxed{\frac{e^{2\pi }-1}{2}}$ である。