問題
1つのさいころを投げ続けて，同じ目が2回連続して出たら終了するものとする。
(1) ちょうど3回目に終了する確率を求めよ。
(2) 3回目以内（3回目も含む）に終了する確率を求めよ。
(3) ちょうど回目に終了する確率を求めよ。ただしとする。
出典：北海道大学 2006年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第4問
方針
終了するとは，ある回で直前と同じ目が出ることである。「ちょうど」終了する場合は，それ以前の隣り合う出目はすべて異なり，最後だけ一致する。1回目の目は何でもよく，2回目以降に直前と異なる確率は ，直前と同じになる確率は である。この構造を(1)(3)で使い，(2)は2回目終了と3回目終了を足す。
解答
(1)
ちょうど3回目に終了するには，1回目と2回目は異なり，2回目と3回目が同じであればよい。1回目の出目は何でもよい。2回目が1回目と異なる確率は であり，3回目が2回目と同じになる確率は である。したがって である。
(2)
3回目以内に終了する場合は，2回目に終了する場合と，ちょうど3回目に終了する場合に分かれる。2回目に終了する確率は，2回目が1回目と同じである確率なので である。よって である。
(3)
とする。ちょうど 回目に終了するには，2回目から 回目までは毎回直前と異なり， 回目に直前と同じ目が出ればよい。
直前と異なる確率は各回で ，直前と同じ確率は である。直前と異なる必要がある回数は 回であるから，求める確率は である。 のときも，空積を1と見れば となり，2回目終了の確率と一致する。