北海道大学 2006年度文系数学前期第2問解答・解説

問題

空間の2点 $P$ ， $Q$ の原点 $O$ を基点とする位置ベクトルが

O P = (2 cos t, 2 sin t, 1), O Q = (- sin 3 t, cos 3 t, - 1)

によって与えられている。ただし， $- 180^{\circ} ≦ t ≦ 180^{\circ}$ とする。

(1) 点 $P$ と点 $Q$ の距離が最小となる $t$ と，そのときの点 $P$ の座標を求めよ。

(2) $O P$ と $O Q$ のなす角が $0^{\circ}$ 以上 $90^{\circ}$ 以下となる $t$ の範囲を求めよ。

出典：北海道大学 2006年度前期日程第2次学力試験文系前期第2問

方針

距離の最小は $P Q^{2}$ で考える。成分を代入して加法定理を使うと $P Q^{2} = 9 + 4 sin 2 t$ にまとまるので， $sin 2 t$ の最小値から $t$ を決める。(2)は2つのベクトルのなす角が $0^{\circ}$ 以上 $9 0^{\circ}$ 以下であることを，内積が0以上である条件に言い換える。内積も $- 2 sin 2 t - 1$ にまとまるので， $2 t$ の範囲 $[- 36 0^{\circ}, 36 0^{\circ}]$ で三角不等式を解く。

解答

(1)

$P = (2 cos t, 2 sin t, 1), Q = (- sin 3 t, cos 3 t, - 1)$ である。したがって

P Q^{2} = (2 cos t + sin 3 t)^{2} + (2 sin t - cos 3 t)^{2} + (1 - (- 1))^{2} = 4 (cos^{2} t + sin^{2} t) + (sin^{2} 3 t + cos^{2} 3 t) + 4 (cos t sin 3 t - sin t cos 3 t) + 4 = 4 + 1 + 4 sin (3 t - t) + 4 = 9 + 4 sin 2 t

である。

よって $P Q^{2}$ が最小となるのは $sin 2 t = - 1$ のときである。条件 $- 18 0^{\circ} ≦ t ≦ 18 0^{\circ}$ より $- 36 0^{\circ} ≦ 2 t ≦ 36 0^{\circ}$ である。この範囲で $sin 2 t = - 1$ となるのは $2 t = - 9 0^{\circ}, 27 0^{\circ}$ であるから $t = - 4 5^{\circ}, 13 5^{\circ}$ である。

それぞれのとき，点 $P$ の座標は $t = - 4 5^{\circ} で P = (2, - 2, 1),$ $t = 13 5^{\circ} で P = (- 2, 2, 1)$ である。

(2)

$O P$ と $O Q$ のなす角が $0^{\circ}$ 以上 $9 0^{\circ}$ 以下である条件は $O P \cdot O Q ≧ 0$ である。内積を計算すると

O P \cdot O Q = (2 cos t) (- sin 3 t) + (2 sin t) (cos 3 t) + 1 \cdot (- 1) = 2 (sin t cos 3 t - cos t sin 3 t) - 1 = 2 sin (t - 3 t) - 1 = - 2 sin 2 t - 1

である。したがって求める条件は $- 2 sin 2 t - 1 ≧ 0$ すなわち $sin 2 t ≦ - \frac{1}{2}$ である。 $- 36 0^{\circ} ≦ 2 t ≦ 36 0^{\circ}$ において， $sin u ≦ - \frac{1}{2}$ となるのは $- 15 0^{\circ} ≦ u ≦ - 3 0^{\circ}, 21 0^{\circ} ≦ u ≦ 33 0^{\circ}$ である。 $u = 2 t$ と戻して

- 7 5^{\circ} ≦ t ≦ - 1 5^{\circ}, 10 5^{\circ} ≦ t ≦ 16 5^{\circ}

である。

北海道大学 2006年度文系数学 前期 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

北海道大学 2006年度
文系数学前期第2問