問題
実数に対して3次方程式を考える。
(1) 関数の極値を求めて，のグラフをかけ。
(2) 方程式の実数解の中で，の範囲にあるものがただ1つであるためのの条件を求めよ。
出典：北海道大学 2006年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第3問
方針
(1)は導関数を因数分解して増減表を作り，極大値・極小値と通過点を押さえてグラフの概形を述べる。(2)は方程式 を と見て，区間 における水平線との交点数を数える。 では から へ増加し， では から へ減少するため， の端点・接点を個別に扱う。
解答
(1)
を微分すると である。したがって
である。
よって で極大， で極小をとる。値は であり，
である。
したがってグラフは，左から増加して点 で極大となり，その後減少して点 で極小となり，さらに増加する3次関数のグラフである。また も通る。
(2)
方程式 は と同値である。区間 だけを考えると， は したがって水平線 との交点数を分類すると， である。
よって， の範囲にある実数解がただ1つであるための条件は である。