問題
は実数とし，は0でない実数とする。2次方程式の解を，とおく。
(1) ，はともに0でないことを示せ。
(2) またはが実数に等しいとき，をとを用いて表せ。
出典：北海道大学 2006年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第1問
方針
解と係数の関係から ， を使う。 なので積が0でなく，2解はどちらも0ではない。(2)では比が実数 に等しいので，たとえば と置き，積と和から を消去する。 は起こらないことを先に確認し，割り算の根拠を明確にする。別解として， を と比だけで表す方法もある。
解答
(1)
解と係数の関係より である。ここで だから である。もし または なら積 は0になってしまうので矛盾する。したがって である。
(2)
まず の場合を考える。(1)より なのでこの比は定義される。また でもあるから である。このとき である。積の関係から なので である。
一方，和の関係から である。両辺を2乗して となる。ここに を代入して を得る。 の場合も，同じ議論で と置けば，やはり となる。したがって求める式は である。
別解。 の場合， である。したがって
である。 の場合も， と が入れ替わるだけなので同じ結論になる。