北海道大学 2005年度
理系数学 前期 第4問

解答

(1)

まず $a_2$ を求める。 $a_2=\frac{1+i}{2(1+i)-3}=\frac{1+i}{-1+2i}$ である。分母を実数化すると $a_2=\frac{(1+i)(-1-2i)}{(-1{)}^2+2^2}=\frac{1-3i}{5}=\frac{1}{5}-\frac{3}{5}i$ である。

求める円は原点を通るので、その方程式を $x^2+y^2+ux+vy=0$ とおける。点 $a_1=1+i$、すなわち $(1,1)$ を通るから $1^2+1^2+u+v=0$ すなわち $u+v=-2$ である。また $a_2=1/5-3i/5$、すなわち $(1/5,-3/5)$ を通るから $\frac{1}{25}+\frac{9}{25}+\frac{u}{5}-\frac{3v}{5}=0$ であり、両辺を5倍して $2+u-3v=0$ を得る。連立すると $u=-2,v=0$ である。

したがって円の方程式は $\boxed{x^2+y^2-2x=0}$ である。これは $(x-1{)}^2+y^2=1$ すなわち複素数 $z=x+yi$ を用いれば $\boxed{|z-1|=1}$ と表せる。

(2)

$z$ が $|z-1|=1$ を満たすとする。$z=x+yi$ とおけば、この条件は $(x-1{)}^2+y^2=1$ すなわち $x^2+y^2=2x$ である。また、この円上では $z=3/2$ とはならないので、$2z-3\ne 0$ である。 $z^{\prime }=\frac{z}{2z-3}$ とおく。すると $z^{\prime }-1=\frac{z-(2z-3)}{2z-3}=\frac{3-z}{2z-3}$ である。よって $|z^{\prime }-1|=\frac{|3-z|}{|2z-3|}$ である。

ここで $|3-z{|}^2=(3-x{)}^2+y^2=9-6x+x^2+y^2=9-4x$ である。一方、$|2z-3{|}^2=(2x-3{)}^2+(2y{)}^2=4x^2-12x+9+4y^2=4(x^2+y^2)-12x+9$ であり、$x^2+y^2=2x$ を代入して $|2z-3{|}^2=8x-12x+9=9-4x$ となる。したがって $|3-z|=|2z-3|$ であり、$|z^{\prime }-1|=1$ である。

これは、円 $|z-1|=1$ 上の点を漸化式 $z\mapsto \frac{z}{2z-3}$ で移しても、再び同じ円上にあることを意味する。(1)より $a_1=1+i$ はこの円上にある。したがって数学的帰納法により、すべての $n$ について $|a_n-1|=1$ が成り立つ。よってすべての $a_n$ は(1)で求めた円上にある。