北海道大学 2005年度理系数学前期第1問解答・解説

問題

次の問いに答えよ．

(1) 方程式 $e^{2 a} - 2 e^{a} - 1 = 0$ を満たす実数 $a$ を求めよ．ただし， $e$ は自然対数の底とする．

(2) $t ≧ 0$ に対して $F (t) = \int_{0}^{t} \frac{e ^{x}}{e ^{x} + e ^{2 t}} d x$ を求めよ．

(3) $t ≧ 0$ の範囲での $F (t)$ の最大値と，最大値を与える $t$ の値を求めよ．

出典：北海道大学 2005年度前期日程第2次学力試験理系前期第1問

方針

(1)は $u = e^{a} > 0$ とおいて2次方程式に直す。(2)は $t$ を定数として見れば、分子 $e^{x}$ が分母 $e^{x} + e^{2 t}$ の $x$ 微分になっているので対数で積分できる。(3)では $s = e^{t}$ とおくと $s ≧ 1$ で、 $F (t)$ の最大化は $s (1 + s) / (1 + s^{2})$ の最大化に帰着する。対数は単調増加なので、中身の増減だけを調べ、(1)と同じ2次方程式 $s^{2} - 2 s - 1 = 0$ が現れることを利用する。

解答

(1)

$u = e^{a}$ とおくと、 $u > 0$ である。方程式は $u^{2} - 2 u - 1 = 0$ となるので、 $u = 1 \pm 2$ である。ここで $1 - 2 < 0$ であり、 $u > 0$ に反する。したがって $u = 1 + 2$ であり、 $a = lo g (1 + 2)$ である。

(2)

$t$ を固定した定数として扱う。分母を $x$ で微分すると $\frac{d}{d x} (e^{x} + e^{2 t}) = e^{x}$ であるから、 $\int \frac{e ^{x}}{e ^{x} + e ^{2 t}} d x = lo g (e^{x} + e^{2 t})$ である。したがって

F (t) = \int_{0}^{t} \frac{e ^{x}}{e ^{x} + e ^{2 t}} d x = [lo g (e^{x} + e^{2 t})]_{0}^{t} = lo g (e^{t} + e^{2 t}) - lo g (1 + e^{2 t})

である。よって $F (t) = lo g \frac{e ^{t} + e ^{2 t}}{1 + e ^{2 t}}$ である。

(3)

$s = e^{t}$ とおく。 $t ≧ 0$ より $s ≧ 1$ であり、(2)の結果は $F (t) = lo g \frac{s + s ^{2}}{1 + s ^{2}} = lo g \frac{s ( 1 + s )}{1 + s ^{2}}$ となる。対数関数は単調増加であるから $g (s) = \frac{s ( 1 + s )}{1 + s ^{2}} (s ≧ 1)$ の最大値を調べればよい。 $g (s) > 0$ なので、 $g^{'} (s)$ の符号は $(lo g g (s))^{'}$ の符号と同じである。ここで $(lo g g (s))^{'} = \frac{1}{s} + \frac{1}{1 + s} - \frac{2 s}{1 + s ^{2}}$ である。分母を払うと、符号を決める分子は $(1 + s) (1 + s^{2}) + s (1 + s^{2}) - 2 s^{2} (1 + s) = 1 + 2 s - s^{2}$ である。したがって停留点は $1 + 2 s - s^{2} = 0$ すなわち $s^{2} - 2 s - 1 = 0$ を満たす。 $s ≧ 1$ より $s = 1 + 2$ である。 $1 + 2 s - s^{2}$ は $1 ≦ s < 1 + 2$ で正、 $s > 1 + 2$ で負であるから、 $g (s)$ は $s = 1 + 2$ で最大となる。したがって最大値を与える $t$ は $t = lo g (1 + 2)$ である。

このとき $s^{2} = 2 s + 1$ であるから

g (s) = \frac{s ( 1 + s )}{1 + s ^{2}} = \frac{s ( 1 + s )}{2 s + 2} = \frac{s}{2} = \frac{1 + 2}{2}

である。ゆえに $F (t)$ の最大値は $lo g \frac{1 + 2}{2}$ である。

北海道大学 2005年度理系数学 前期 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

北海道大学 2005年度
理系数学前期第1問