北海道大学 2005年度理系数学前期第3問解答・解説

問題

$f (x)$ は最高次の係数が1の整式とする．

(1) 自然数 $n$ ， $m$ に対し， $\int_{0}^{n} t^{m} d t ≦ k = 1 \sum n k^{m} ≦ \int_{0}^{n} (t + 1)^{m} d t$ を示せ．

(2) $f (x)$ の次数を $r$ とするとき，次が成り立つことを示せ．

n \to \infty lim \frac{1}{n ^{r + 1}} k = 1 \sum n f (k) = \frac{1}{r + 1}

(3) すべての自然数 $n$ に対して $\frac{1}{n} k = 1 \sum n f (k) = \frac{1}{2} f (n)$ が成り立つような $f (x)$ を求めよ．

出典：北海道大学 2005年度前期日程第2次学力試験理系前期第3問

方針

(1)は $t^{m}$ が $t ≧ 0$ で単調増加することを用い、各区間 $[k - 1, k]$ と $[k, k + 1]$ で $k^{m}$ を積分と比較してから足し合わせる。(2)は $f (x) = x^{r}$ の最高次項と、それより低い次数の項を分ける。最高次項の和は(1)ではさみうちし、低次項の和は $n^{r + 1}$ で割ると0になることを示す。(3)は(2)により両辺の最高次係数を比較してまず次数 $r = 1$ を決め、その後 $f (x) = x + c$ とおいて条件を直接解く。

解答

(1)

$m$ は自然数であるから、 $t ≧ 0$ で $t^{m}$ は単調に増加する。したがって $k = 1, 2, \dots, n$ について、 $k - 1 ≦ t ≦ k$ なら $t^{m} ≦ k^{m}$ である。よって $\int_{k - 1}^{k} t^{m} d t ≦ k^{m}$ である。

また、 $k ≦ t ≦ k + 1$ なら $k^{m} ≦ t^{m}$ であるから $k^{m} ≦ \int_{k}^{k + 1} t^{m} d t$ である。これらを $k = 1$ から $n$ まで加えると $\int_{0}^{n} t^{m} d t ≦ \sum_{k = 1}^{n} k^{m} ≦ \int_{1}^{n + 1} t^{m} d t$ を得る。右辺は $t = u + 1$ とおけば $\int_{1}^{n + 1} t^{m} d t = \int_{0}^{n} (u + 1)^{m} d u$ である。文字を $t$ に戻して $\int_{0}^{n} t^{m} d t ≦ k = 1 \sum n k^{m} ≦ \int_{0}^{n} (t + 1)^{m} d t$ が示された。

(2)

$f (x)$ の次数を $r$ とし、最高次の係数が1であるから $f (x) = x^{r} + c_{r - 1} x^{r - 1} + \dots + c_{1} x + c_{0}$ と書ける。

まず最高次項について(1)を $m = r$ に適用すると

\frac{1}{n ^{r + 1}} \int_{0}^{n} t^{r} d t ≦ \frac{1}{n ^{r + 1}} k = 1 \sum n k^{r} ≦ \frac{1}{n ^{r + 1}} \int_{0}^{n} (t + 1)^{r} d t

である。左辺は $\frac{1}{n ^{r + 1}} \cdot \frac{n ^{r + 1}}{r + 1} = \frac{1}{r + 1}$ であり、右辺は $\frac{( n + 1 ) ^{r + 1} - 1}{( r + 1 ) n ^{r + 1}} \to \frac{1}{r + 1}$ である。よってはさみうちにより $\frac{1}{n ^{r + 1}} \sum_{k = 1}^{n} k^{r} \to \frac{1}{r + 1}$ である。

次に、 $0 ≦ j ≦ r - 1$ については、(1)または単純な評価から $\sum_{k = 1}^{n} k^{j}$ は高々 $n^{j + 1}$ 程度の大きさである。したがって $\frac{1}{n ^{r + 1}} \sum_{k = 1}^{n} k^{j} \to 0 (0 ≦ j ≦ r - 1)$ である。ゆえに低次の項は極限に寄与せず、

n \to \infty lim \frac{1}{n ^{r + 1}} k = 1 \sum n f (k) = \frac{1}{r + 1}

が成り立つ。

(3)

条件は $\frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} f (k) = \frac{1}{2} f (n)$ である。 $f (x)$ の次数を $r$ とする。(2)より $\sum_{k = 1}^{n} f (k)$ の最高次 $n^{r + 1}$ の係数は $1/ (r + 1)$ である。したがって $\frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} f (k)$ の最高次 $n^{r}$ の係数は $\frac{1}{r + 1}$ である。一方、 $f (n)$ の最高次係数は1なので、 $f (n) /2$ の $n^{r}$ の係数は $\frac{1}{2}$ である。よって $\frac{1}{r + 1} = \frac{1}{2}$ となり、 $r = 1$ である。

したがって $f (x) = x + c$ とおける。これを条件に代入すると $\frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} (k + c) = \frac{1}{2} (n + c)$ である。左辺は $\frac{1}{n} {\frac{n ( n + 1 )}{2} + c n} = \frac{n + 1}{2} + c$ だから、 $\frac{n + 1}{2} + c = \frac{n + c}{2}$ である。両辺を2倍して $n + 1 + 2 c = n + c$ となるので $c = - 1$ である。したがって $f (x) = x - 1$ である。

実際、このとき $\frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} (k - 1) = \frac{n + 1}{2} - 1 = \frac{n - 1}{2}$ であり、 $\frac{1}{2} f (n) = \frac{1}{2} (n - 1)$ と一致する。

北海道大学 2005年度理系数学 前期 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

北海道大学 2005年度
理系数学前期第3問