北海道大学 2005年度理系数学前期第2問解答・解説

問題

$x$ ， $y$ は $- \frac{π}{2} ≦ x ≦ \frac{π}{2}$ ， $- \frac{π}{2} ≦ y ≦ \frac{π}{2}$ を満たすとする．数列 ${a_{n}}$ および ${b_{n}}$ を次で定める．

(a_{1} b_{1}) = (10), (a_{n + 1} b_{n + 1}) = (cos x + cos y - sin x + sin y sin x - sin y cos x + cos y) (a_{n} b_{n}) (n = 1, 2, \dots)

(1) $c_{n} = a_{n}^{2} + b_{n}^{2}$ $(n = 1, 2, \dots)$ を求めよ．

(2) (1)の $c_{n}$ に対して， $n \to \infty lim c_{n} = 0$ となるような $(x, y)$ の範囲を図示せよ．

出典：北海道大学 2005年度前期日程第2次学力試験理系前期第2問

方針

行列の形は、平面上のベクトルを回転しながら一定倍率で伸縮する形になっている。そこで $A = cos x + cos y$ 、 $B = sin x - sin y$ とおき、 $a_{n + 1}^{2} + b_{n + 1}^{2}$ を直接展開して交差項が消えることを見る。倍率 $A^{2} + B^{2}$ は三角関数の加法定理で $4 cos^{2} ((x + y) /2)$ に整理できる。(2)は等比数列の極限条件 $0 ≦ q < 1$ に直し、与えられた正方形領域内で $∣ x + y ∣ > 2 π /3$ となる2つの三角形領域を図示する。

解答

(1)

$A = cos x + cos y, B = sin x - sin y$ とおく。漸化式は $a_{n + 1} = A a_{n} + B b_{n}, b_{n + 1} = - B a_{n} + A b_{n}$ と書ける。したがって

c_{n + 1} = a_{n + 1}^{2} + b_{n + 1}^{2} = (A a_{n} + B b_{n})^{2} + (- B a_{n} + A b_{n})^{2} = (A^{2} + B^{2}) a_{n}^{2} + (A^{2} + B^{2}) b_{n}^{2} = (A^{2} + B^{2}) c_{n}

である。途中で $2 A B a_{n} b_{n}$ と $- 2 A B a_{n} b_{n}$ が打ち消し合う。

次に倍率を計算する。

A^{2} + B^{2} = (cos x + cos y)^{2} + (sin x - sin y)^{2} = cos^{2} x + sin^{2} x + cos^{2} y + sin^{2} y + 2 cos x cos y - 2 sin x sin y = 2 + 2 cos (x + y) = 4 cos^{2} \frac{x + y}{2}

である。また $(a_{1}, b_{1}) = (1, 0)$ より $c_{1} = 1$ である。よって $c_{n} = (4 cos^{2} \frac{x + y}{2})^{n - 1}$ である。

(2)

(1)より、 $c_{n}$ は公比 $q = 4 cos^{2} \frac{x + y}{2}$ の等比数列である。常に $q ≧ 0$ だから $lim_{n \to \infty} c_{n} = 0$ となる条件は $0 ≦ q < 1$ すなわち $4 cos^{2} \frac{x + y}{2} < 1$ である。

与えられた範囲では $- π ≦ x + y ≦ π$ であるから $- \frac{π}{2} ≦ \frac{x + y}{2} ≦ \frac{π}{2}$ となり、この範囲では $cos ((x + y) /2) ≧ 0$ である。したがって $4 cos^{2} \frac{x + y}{2} < 1$ は $cos \frac{x + y}{2} < \frac{1}{2}$ と同値である。 $- π /2 ≦ (x + y) /2 ≦ π /2$ でこれが成り立つのは $\frac{x + y}{2} > \frac{π}{3}$ のときである。よって求める範囲は $x + y > \frac{2 π}{3} または x + y < - \frac{2 π}{3}$ を満たす部分である。

ただし、もとの領域は

- \frac{π}{2} ≦ x ≦ \frac{π}{2}, - \frac{π}{2} ≦ y ≦ \frac{π}{2}

である。したがって図示すると、この正方形の中で、境界直線 $x + y = \frac{2 π}{3}, x + y = - \frac{2 π}{3}$ を含まない、右上と左下の2つの三角形領域である。

別解。

$z_{n} = a_{n} + i b_{n}$ とおくと、漸化式は $z_{n + 1} = (A - i B) z_{n}$ と書ける。したがって $∣ z_{n + 1} ∣^{2} = ∣ A - i B ∣^{2} ∣ z_{n} ∣^{2} = (A^{2} + B^{2}) ∣ z_{n} ∣^{2}$ である。ここで $∣ z_{n} ∣^{2} = a_{n}^{2} + b_{n}^{2} = c_{n}$ なので、解法1と同じく $c_{n + 1} = 4 cos^{2} \frac{x + y}{2} c_{n}$ を得る。

北海道大学 2005年度理系数学 前期 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

別解。

北海道大学 2005年度
理系数学前期第2問