問題
四面体において，辺と辺が垂直ならば，頂点から平面へ下ろした垂線と，頂点から平面へ下ろした垂線は交わることを示せ．
% 図は省略
方針
座標を入れて、2本の垂線を同じ平面内の2直線として表す。 を 軸に取り、 から と の 座標が等しいことを使う。平面 と平面 はどちらも 方向を含むので、それぞれの法線ベクトルは 成分が0の形で求まる。2本の垂線はいずれも同じ平面 内にあり、もしその方向が平行なら4点が同一平面上に乗って四面体でなくなる。したがって方向は平行でなく、同一平面内の2直線として交わる。
解答
座標を次のようにとる。平行移動、回転、拡大縮小をしても垂直性や交わるかどうかは変わらないので、 としてよい。このとき辺 は 軸方向である。 であるから、 の 成分は0である。すなわち、 と の 座標は等しい。そこで とおく。四面体であるから、 と はどちらも ではなく、さらに4点は同一平面上にはない。
まず平面 を考える。この平面は 方向のベクトル と、 から へ向かうベクトル を含む。したがって平面 に垂直な方向ベクトルの一つは である。よって、頂点 から平面 へ下ろした垂線は と表される。
同様に、平面 は と を含むので、平面 に垂直な方向ベクトルの一つは である。したがって、頂点 から平面 へ下ろした垂線は と表される。
この2本の直線はいずれも 座標が常に である。したがって、どちらも同じ平面 内にある。この平面内で 成分だけを見ると、2直線の方向ベクトルはそれぞれ である。
もしこの2つの方向ベクトルが平行なら、ある実数 を用いて と書ける。すると である。したがって であり、 とともに、 は 軸方向と 方向で張られる同一平面上にある。これは が四面体であることに反する。
よって2つの方向ベクトル と は平行でない。同一平面 内の2直線で、方向が平行でなければ、それらは1点で交わる。したがって、頂点 から平面 へ下ろした垂線と、頂点 から平面 へ下ろした垂線は交わる。