北海道大学 2005年度
後期・理系数学 後期 第1問

解答

(1)

$m=1$ を代入すると $\frac{p\cdot 1}{1^2-1-1}=-p$ が整数でなければならない。したがって $p$ は整数である。

次に、任意の整数 $m$ について $\gcd (m,m^2-m-1)=1$ である。実際、$m$ と $m^2-m-1$ の公約数は、$m$ と $m^2-m-1-m(m-1)=-1$ の公約数でもあるからである。

よって $\frac{pm}{m^2-m-1}$ が整数となるためには、分母 $m^2-m-1$ が $p$ を割り切る必要がある。ところが $|m^2-m-1|$ は $|m|$ を大きくすればいくらでも大きくなる。非零の整数 $p$ は、自分自身の絶対値より大きい整数で割り切られることはないので、すべての整数 $m$ で条件が成り立つには $p=0$ でなければならない。

逆に $p=0$ なら分子は常に0であり、条件を満たす。したがって $\boxed{p=0}$ である。

(2)

分母を $g(x)=x^2-x-1$ とおく。多項式除法を行うと

である。したがって整数 $m$ について $\frac{f(m)}{m^2-m-1}=m^2+m+a+2+\frac{(a+b+3)m}{m^2-m-1}$ である。なお、$m^2-m-1=0$ は整数解をもたないので、分母は整数 $m$ に対して0にならない。

まず必要条件を求める。$m=0$ を代入すると $\frac{f(0)}{-1}=a+2$ であるから、条件が成り立つためには $a+2\in \mathbb{Z}$ でなければならない。したがって $a$ は整数である。

このとき $m^2+m+a+2$ はすべての整数 $m$ に対して整数である。よって、もとの分数が常に整数となるためには $\frac{(a+b+3)m}{m^2-m-1}$ もすべての整数 $m$ に対して整数でなければならない。(1)を $p=a+b+3$ に適用すると、これは $a+b+3=0$ を意味する。

逆に、$a$ が整数で $a+b+3=0$ なら、上の式は $\frac{f(m)}{m^2-m-1}=m^2+m+a+2$ となる。これはすべての整数 $m$ に対して整数である。

したがって必要十分条件は $\boxed{a\in \mathbb{Z},b=-a-3}$ である。