北海道大学 2005年度後期・理系数学後期第3問解答・解説

問題

$x y -$ 平面の原点 $O$ を中心とする半径4の円 $E$ がある．半径1の円 $C$ が，内部から $E$ に接しながらすべることなくころがって反時計回りに一周する．このとき，円 $C$ の周上に固定された点 $P$ の軌跡を考える．ただし，はじめに点 $P$ は点 $(4, 0)$ の位置にあるものとする．
% 図は省略

(1) 図のように， $x$ 軸と円 $C$ の中心のなす角度が $θ$ $(0 ≦ θ ≦ 2 π)$ となったときの点 $P$ の座標 $(x, y)$ を， $θ$ を用いて表せ．

(2) 点 $P$ の軌跡の長さを求めよ．

出典：北海道大学 2005年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第3問

方針

円 $C$ の中心 $Q$ は、半径4の円の内側を半径1の円が接するので、原点中心・半径3の円上を動く。 $Q = (3 cos θ, 3 sin θ)$ とおき、すべらない条件から、中心 $Q$ の進んだ弧長 $3 θ$ だけ小円は時計回りに回転する。初期状態で $QP = (1, 0)$ だから、 $QP = (cos 3 θ, - sin 3 θ)$ となる。(2)は媒介変数表示を微分し、速度 $6∣ sin 2 θ ∣$ を $0 ≦ θ ≦ 2 π$ で積分する。

解答

(1)

円 $C$ の中心を $Q$ とする。半径4の円 $E$ に半径1の円 $C$ が内接しているので、 $O Q$ の長さは $4 - 1 = 3$ である。したがって、 $x$ 軸と $O Q$ のなす角が $θ$ のとき $Q = (3 cos θ, 3 sin θ)$ である。

中心 $Q$ が角 $θ$ だけ動くと、中心の軌跡の弧長は $3 θ$ である。すべることなく転がるので、小円の周上でも同じ長さだけ接点が移動する。小円の半径は1だから、点 $P$ を固定した半径 $QP$ は、中心 $Q$ のまわりに角 $3 θ$ だけ回転する。内側を反時計回りに転がると小円自身の回転は時計回りなので、初期状態 $QP = (1, 0)$ から $QP = (cos 3 θ, - sin 3 θ)$ となる。

よって $P = Q + QP$ であるから、点 $P$ の座標は $(x, y) = (3 cos θ + cos 3 θ, 3 sin θ - sin 3 θ)$ である。

(2)

(1)より $x = 3 cos θ + cos 3 θ, y = 3 sin θ - sin 3 θ$ である。したがって $\frac{d x}{d θ} = - 3 sin θ - 3 sin 3 θ$ であり、 $\frac{d y}{d θ} = 3 cos θ - 3 cos 3 θ$ である。速度の大きさは

(\frac{d x}{d θ})^{2} + (\frac{d y}{d θ})^{2} = 3 (sin θ + sin 3 θ)^{2} + (cos θ - cos 3 θ)^{2}

である。

ここで $sin θ + sin 3 θ = 2 sin 2 θ cos θ$ であり、 $cos θ - cos 3 θ = 2 sin 2 θ sin θ$ である。よって $(sin θ + sin 3 θ)^{2} + (cos θ - cos 3 θ)^{2} = 4 sin^{2} 2 θ$ となる。したがって速度は $6∣ sin 2 θ ∣$ である。

点 $P$ の軌跡の長さは $\int_{0}^{2 π} 6∣ sin 2 θ ∣ d θ$ である。 $u = 2 θ$ とおくと $\int_{0}^{2 π} ∣ sin 2 θ ∣ d θ = \frac{1}{2} \int_{0}^{4 π} ∣ sin u ∣ d u$ であり、 $∣ sin u ∣$ の $0$ から $2 π$ までの積分は4なので、 $0$ から $4 π$ までの積分は8である。したがって $\int_{0}^{2 π} ∣ sin 2 θ ∣ d θ = 4$ である。

ゆえに軌跡の長さは $24$ である。

北海道大学 2005年度後期・理系数学 後期 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

北海道大学 2005年度
後期・理系数学後期第3問