北海道大学 2005年度後期・理系数学後期第2問解答・解説

問題

$f (x)$ は $x ≧ 0$ で単調に減少する連続関数とする．

(1) すべての $x > 0$ に対して， $f (x) < \frac{1}{x} \int_{0}^{x} f (t) d t$ を示せ．

(2) 関数 $F (x)$ を

F (x) = \int_{0}^{x} f (t) d t (x ≧ 0)

で定める． $\frac{F ( x )}{x}$ は $x > 0$ で単調に減少することを示せ．

出典：北海道大学 2005年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第2問

方針

(1)は、 $x > 0$ を固定して $0 ≦ t < x$ における $f (t)$ と端点値 $f (x)$ を比較する。問題文の「単調に減少」を狭義の減少として用いれば、 $f (t) > f (x)$ が成り立ち、積分して平均値が端点値より大きいことが分かる。(2)は $F^{'} (x) = f (x)$ を使って $F (x) / x$ を微分し、(1)で得た $F (x) > x f (x)$ から導関数が負であることを示す。

解答

(1)

$x > 0$ を固定する。 $0 ≦ t < x$ では、 $f (x)$ は $[0, x]$ の右端の値であり、 $f$ は単調に減少するから $f (t) > f (x)$ である。したがって $f (t) - f (x) > 0 (0 ≦ t < x)$ である。連続性により、この正の差を積分して $\int_{0}^{x} {f (t) - f (x)} d t > 0$ を得る。すなわち $\int_{0}^{x} f (t) d t - \int_{0}^{x} f (x) d t > 0$ である。 $f (x)$ は $t$ に関する定数なので $\int_{0}^{x} f (x) d t = x f (x)$ であり、 $\int_{0}^{x} f (t) d t > x f (x)$ となる。 $x > 0$ で割って $f (x) < \frac{1}{x} \int_{0}^{x} f (t) d t$ が示された。

(2)

$F (x) = \int_{0}^{x} f (t) d t$ であるから、微分積分の基本定理より $F^{'} (x) = f (x)$ である。 $x > 0$ で商を微分すると

(\frac{F ( x )}{x})^{'} = \frac{x F ^{'} ( x ) - F ( x )}{x ^{2}} = \frac{x f ( x ) - F ( x )}{x ^{2}}

である。

(1)の結果は $F (x) > x f (x)$ と書ける。したがって $x f (x) - F (x) < 0$ であり、 $x^{2} > 0$ だから $(\frac{F ( x )}{x})^{'} < 0$ である。よって $\frac{F ( x )}{x} は x > 0 で単調に減少する$ ことが示された。

北海道大学 2005年度後期・理系数学 後期 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

北海道大学 2005年度
後期・理系数学後期第2問