北海道大学 2004年度後期・理系数学後期第4問解答・解説

問題

$∣ z ∣ = 1$ である複素数 $z$ に対して， $z$ ， $z^{2}$ ， $\frac{1}{z}$ が定める複素数平面上の3点を考える．ただし， $z$ の偏角 $θ$ は $0 ≦ θ ≦ π$ の範囲とする．

(1) 3点の内の2点以上が一致するときの $θ$ をすべて求めよ．

(2) (1)以外のときに，3点を頂点とする三角形の面積 $S$ を， $θ$ を用いて表せ．

(3) $S$ が極大値をとるときの $cos θ$ の値をすべて求めよ．

(4) $S$ の最大値と，そのときの複素数 $z$ を求めよ．

出典：北海道大学 2004年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第4問

方針

$z = e^{i θ}$ とおくと、3点は偏角 $θ, 2 θ, - θ$ をもつ単位円上の点である。(1) はこれらの偏角が $2 π$ の整数倍だけ異なる場合を列挙する。(2) は2点 $z$ と $1/ z$ が同じ $x$ 座標をもつことを利用し、縦の長さ $2 sin θ$ と、点 $z^{2}$ からその縦線までの距離で面積を出す。(3) は $u = cos θ$ と置き、 $S^{2} = (1 - u^{2}) (1 - u)^{2} (2 u + 1)^{2}$ の極値を調べる。退化点で区切られた各区間の内部で極大候補を求め、(4) では2つの候補の値を比較して最大を選ぶ。

解答

(1)

$z = cos θ + i sin θ$ とおく。 $∣ z ∣ = 1$ なので $z^{2} の偏角は 2 θ, \frac{1}{z} の偏角は - θ$ である。したがって3点は、単位円上の偏角 $θ, 2 θ, - θ$ の点である。

2点以上が一致するのは、これらの偏角の差が $2 π$ の整数倍になるときである。 $z = z^{2} ⟺ θ \equiv 2 θ (mod 2 π)$ より $θ = 0$ である。また $z = \frac{1}{z} ⟺ 2 θ \equiv 0 (mod 2 π)$ より、 $0 ≦ θ ≦ π$ では $θ = 0, π$ である。さらに $z^{2} = \frac{1}{z} ⟺ 3 θ \equiv 0 (mod 2 π)$ より、 $θ = 0, \frac{2 π}{3}$ である。以上を合わせると $θ = 0, \frac{2 π}{3}, π$ である。

(2)

(1) 以外の場合を考える。3点の座標は $z : (cos θ, sin θ),$ $z^{2} : (cos 2 θ, sin 2 θ),$ $\frac{1}{z} : (cos θ, - sin θ)$ である。点 $z$ と $1/ z$ を結ぶ線分は縦の線分で、その長さは $2 sin θ$ である。点 $z^{2}$ から直線 $x = cos θ$ までの距離は $∣ cos 2 θ - cos θ ∣$ である。したがって三角形の面積 $S$ は $S = \frac{1}{2} \cdot 2 sin θ \cdot ∣ cos 2 θ - cos θ ∣$ である。

ここで $u = cos θ$ とおくと、 $cos 2 θ - cos θ = 2 u^{2} - u - 1 = (u - 1) (2 u + 1)$ である。 $0 < θ < π$ では $sin θ > 0$ 、また $1 - u ≧ 0$ なので、 $S = sin θ (1 - cos θ) ∣2 cos θ + 1∣$ である。

(3)

$u = cos θ$ とおく。退化する場合を除けば $- 1 < u < 1$ 、 $u \neq = - \frac{1}{2}$ である。(2) より $S^{2} = (1 - u^{2}) (1 - u)^{2} (2 u + 1)^{2}$ である。 $S > 0$ の範囲で微分の符号を見るため、対数微分を用いると

\frac{d}{d u} lo g S^{2} = - \frac{2 u}{1 - u ^{2}} - \frac{2}{1 - u} + \frac{4}{2 u + 1}

である。これが $0$ となる条件を整理すると $6 u^{2} + 4 u - 1 = 0$ である。したがって $u = \frac{- 2 \pm 10}{6}$ である。 $S$ は区間 $(- 1, - 1/2)$ と $(- 1/2, 1)$ の端で $0$ となり、それぞれの区間内で上の解を1つずつもつ。よって、 $S$ が極大値をとるときの $cos θ$ は $cos θ = \frac{- 2 - 10}{6}, \frac{- 2 + 10}{6}$ である。

(4)

(3) の2つの候補で値を比較する。 $u = cos θ$ として $S^{2} = (1 - u^{2}) (1 - u)^{2} (2 u + 1)^{2}$ に代入すると、 $u = \frac{- 2 + 10}{6}$ のとき $S^{2} = \frac{2437 + 340 10}{2916}$ であり、 $u = \frac{- 2 - 10}{6}$ のとき $S^{2} = \frac{2437 - 340 10}{2916}$ である。したがって最大値を与えるのは $cos θ = \frac{10 - 2}{6}$ のときである。

このとき $0 ≦ θ ≦ π$ なので $sin θ ≧ 0$ であり、

sin θ = 1 - (\frac{10 - 2}{6})^{2} = \frac{11 + 2 10}{18}

である。また最大値は

S_{m a x} = \frac{2437 + 340 10}{2916} = \frac{2437 + 340 10}{54}

である。

したがって、そのときの複素数 $z$ は $z = \frac{10 - 2}{6} + i \frac{11 + 2 10}{18}$ であり、最大値は $\frac{2437 + 340 10}{54}$ である。

別解。(2) の面積は、3点の座標を行列式に入れて $S = \frac{1}{2} ∣ sin 2 θ + sin θ - sin 3 θ ∣$ としてもよい。これを加法定理で整理すると、同じく $S = sin θ (1 - cos θ) ∣2 cos θ + 1∣$ が得られる。縦線を底辺にする主解の方が、絶対値の意味と退化条件を見落としにくい。

北海道大学 2004年度後期・理系数学 後期 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

(4)

北海道大学 2004年度
後期・理系数学後期第4問