北海道大学 2004年度後期・理系数学後期第3問解答・解説

問題

$x = cos 2 t cos t$ ， $y = cos 2 t sin t$ $(- \frac{π}{4} ≦ t ≦ \frac{π}{4})$ と媒介変数 $t$ で表される曲線を $C$ とする．

(1) 曲線 $C$ 上の点 $(x, y)$ における $y$ の最大値と，そのときの $x$ を求めよ．

(2) 曲線 $C$ で囲まれた図形の面積を求めよ．

出典：北海道大学 2004年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第3問

方針

与えられた式は極座標 $r = cos 2 t$ 、偏角 $t$ を表している。 $- π /4 ≦ t ≦ π /4$ では $cos 2 t ≧ 0$ なので、右側の1つのループを考えればよい。(1) は $y^{2} = (cos 2 t) sin^{2} t$ とし、 $u = sin^{2} t$ によって2次式の最大問題へ直す。(2) は極座標の面積公式 $\frac{1}{2} \int r^{2} d t$ を用いて計算する。

解答

(1)

与えられた媒介変数表示は $x = r cos t, y = r sin t, r = cos 2 t$ と見られる。つまり極座標で $r^{2} = cos 2 t$ と表される曲線である。範囲 $- π /4 ≦ t ≦ π /4$ では $cos 2 t ≧ 0$ である。 $y$ の最大値を求めるため、まず $y^{2}$ を考える。 $y^{2} = (cos 2 t) sin^{2} t$ である。ここで $u = sin^{2} t$ とおくと、 $- π /4 ≦ t ≦ π /4$ より $0 ≦ u ≦ \frac{1}{2}$ である。また $cos 2 t = 1 - 2 sin^{2} t = 1 - 2 u$ なので、 $y^{2} = (1 - 2 u) u = u - 2 u^{2}$ である。この2次式は $u = \frac{1}{4}$ のとき最大となり、その最大値は $\frac{1}{4} - 2 \cdot \frac{1}{16} = \frac{1}{8}$ である。したがって $y_{m a x} = \frac{1}{2 2}$ である。

このとき $sin^{2} t = 1/4$ であり、 $y$ が最大になるには $sin t > 0$ なので $t > 0$ である。したがって $sin t = \frac{1}{2}, cos t = \frac{3}{2}, cos 2 t = \frac{1}{2}$ である。よって $x = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{6}{4}$ である。

(2)

極座標で表された曲線の面積は $\frac{1}{2} \int r^{2} d t$ で求められる。ここでは $r^{2} = cos 2 t$ だから、曲線で囲まれた図形の面積 $S$ は

S = \frac{1}{2} \int_{- π /4}^{π /4} cos 2 t d t = \frac{1}{2} [\frac{1}{2} sin 2 t]_{- π /4}^{π /4} = \frac{1}{4} {1 - (- 1)} = \frac{1}{2} .

別解。(1) は直交座標の式からも確認できる。極座標で $r^{2} = x^{2} + y^{2}$ 、 $cos 2 t = (x^{2} - y^{2}) / (x^{2} + y^{2})$ であるから、曲線は $(x^{2} + y^{2})^{2} = x^{2} - y^{2}$ を満たす。 $y$ を固定して $x^{2}$ が存在する条件を調べても最大の $y^{2} = 1/8$ が得られる。ただし計算は極座標の方が短い。

北海道大学 2004年度後期・理系数学 後期 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

北海道大学 2004年度
後期・理系数学後期第3問