北海道大学 2004年度後期・理系数学後期第1問解答・解説

問題

$n$ を自然数とする．等式 $sin x = e^{\frac{x}{n}} - 1$ を満たす0以上の実数 $x$ の個数を $P_{n}$ で表す．このとき， $n \to \infty lim \frac{P _{n}}{n}$ を求めよ．ただし， $e$ は自然対数の底とする．

出典：北海道大学 2004年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第1問

方針

右辺 $e^{x / n} - 1$ は単調増加し、 $1$ を超えると $sin x$ と等しくなれないため、解は $0 ≦ x ≦ n lo g 2$ に限られる。また右辺が非負なので、 $sin x ≧ 0$ となる半周期だけを数えればよい。各半周期 $[2 k π, (2 k + 1) π]$ では、差 $sin x - (e^{x / n} - 1)$ が上に凸でなく下に曲がる関数になり、零点は高々2個である。中央で正になる半周期は2個の解を与え、端の不完全な半周期の個数誤差は $n$ で割ると消える。この上下評価で極限を求める。

解答

方程式を $sin x = e^{x / n} - 1$ と書く。右辺は $x ≧ 0$ で単調増加し、かつ非負である。 $sin x ≦ 1$ なので、解が存在するには $e^{x / n} - 1 ≦ 1$ が必要である。したがって $x ≦ n lo g 2$ である。また右辺は非負だから、解は $sin x ≧ 0$ となる範囲に限られる。 $sin x ≧ 0$ となる半周期は $I_{k} = [2 k π, (2 k + 1) π] (k = 0, 1, 2, \dots)$ である。各 $I_{k}$ で $f_{n} (x) = sin x - (e^{x / n} - 1)$ とおくと、 $f_{n}^{''} (x) = - sin x - \frac{1}{n ^{2}} e^{x / n} < 0$ である。したがって $f_{n} (x)$ は各 $I_{k}$ で上に凸ではなく、グラフは下向きに曲がる。このため、各 $I_{k}$ における零点は高々2個である。

一方、 $I_{k}$ の中央 $x = 2 k π + \frac{π}{2}$ で

f_{n} (2 k π + \frac{π}{2}) = 1 - (e^{(2 k π + π /2) / n} - 1) = 2 - e^{(2 k π + π /2) / n}

である。したがって $2 k π + \frac{π}{2} < n lo g 2$ なら、この中央で $f_{n} > 0$ となる。区間の両端では $sin x = 0$ であり、右辺は非負なので $f_{n} ≦ 0$ である。よってこのような半周期は2個の解を与える。ただし $k = 0$ では左端 $x = 0$ も解であり、それを含めて2個と数える。

ここで、中央が $n lo g 2$ より左にある半周期の個数を $L_{n}$ 、左端が $n lo g 2$ 以下にある半周期の個数を $U_{n}$ とする。上の議論から $2 L_{n} ≦ P_{n} ≦ 2 U_{n}$ である。これらの個数は長さ $2 π$ ごとに1つ現れるので、

n \to \infty lim \frac{L _{n}}{n} = n \to \infty lim \frac{U _{n}}{n} = \frac{lo g 2}{2 π}

である。したがって、はさみうちにより

n \to \infty lim \frac{P _{n}}{n} = 2 \cdot \frac{lo g 2}{2 π} = \frac{lo g 2}{π}

である。

北海道大学 2004年度後期・理系数学 後期 第1問

問題

方針

解答

北海道大学 2004年度
後期・理系数学後期第1問