問題
ある人がサイコロを振る試行によって，部屋，を移動する．サイコロの目の数が1，3のときに限り部屋を移る．また各試行の結果，部屋に居る場合はその人の持ち点に1点を加え，部屋に居る場合は1点を減らす．持ち点は負になることもあるとする．第試行の結果，部屋，に居る確率をそれぞれ，と表す．最初にその人は部屋に居るものとし(つまり，，とする)，持ち点は1とする．
(1) ，，および，，を求めよ．また，第3試行の結果，その人が得る持ち点の期待値を求めよ．
(2) ，を，を用いて表せ．
(3) ，をを用いて表せ．
方針
部屋を移る確率は 、同じ部屋にとどまる確率は である。まず3回目までの確率を漸化的に計算し、得点の期待値は各試行後に部屋 にいれば 、部屋 にいれば であることから、増分の期待値 を足す。一般の では2状態の確率漸化式を作り、和 と差 を用いて閉じた形にする。
解答
(1)
サイコロの目が のときだけ部屋を移るので、1回の試行で部屋を移る確率は であり、同じ部屋にとどまる確率は である。
最初は部屋 にいるから、1回目の後は である。2回目は、 にいてとどまる場合、または にいて移る場合に にいるので、 である。したがって である。さらに であり、 である。
第 試行の結果、部屋 にいれば得点は 、部屋 にいれば得点は だけ変化する。したがって第 試行での得点増分の期待値は である。初期持ち点は なので、
(2)
第 試行後に部屋 にいるのは、第 試行後に にいて移らない場合、または にいて移る場合である。よって である。同様に である。
(3)
(2) の2式を引くと である。初期状態から なので、 である。また、必ずどちらかの部屋にいるので である。和と差を解けば
となる。
別解。第 試行後に部屋 にいるのは、それまでに部屋を移った回数が偶数のときである。移動回数を とすると、各回で移る確率は だから、 は「偶数回なら 、奇数回なら 」の期待値である。1回ごとの寄与は、移らないと 、移ると なので期待値は である。独立性より となり、同じ公式が得られる。