問題
を正の実数とし，関数を考える．
(1) の導関数を求めよ．さらに，となるの値をすべて求めよ．
(2) のとき，の極大値および極小値と，それらを与えるの値を求めよ．
(3) のとき，の極小値と，それを与えるの値を求めよ．
方針
とおくと、積分区間の両端だけで が決まる。 は または に直せるため、 の解を 、、 に分けて分類する。極値は、 では長さ の区間が を中心に対称になるときに生じる。値は三角形の面積として、または短い積分で求める。 では中央 のみが極小点になり、 を と に分けて積分する。
解答
(1)
とおくと、 である。積分区間の上下端がともに によって動くので、 である。
次に を解く。 は であり、これは または と同値である。ここで 、 とする。
まず から を得る。これはすべての で解である。
次に を考える。点 と からの距離の和が であるという条件である。 のときは を得る。 のときは、区間 のすべてで となる。 のときは、この方程式に解はない。
したがって、 となる は である。
(2)
とする。このとき、 の符号は の順に変化する。したがって で極小となり、 で極大となる。
まず のとき、積分区間は である。 なので、この区間では である。よって
これが極大値である。
次に のとき、積分区間は であり、 を中心とする長さ の区間である。この区間では だから、 である。同様に、 のときは を中心とする区間となり、 である。したがって
である。
(3)
とする。このとき となる点は だけであり、符号はそこで負から正に変わる。したがって で極小となる。
このとき積分区間は である。関数 は偶関数なので、
である。 より、
したがって である。