問題
1辺の長さが1の立方体がある．3点，，を含む平面と直線の交点を，から面に下ろした垂線の足をとする．
% 図は省略
(1) 長方形を描き，三角形との交線と点を図示せよ．さらに，線分，の長さを求めよ．
(2) 四面体に内接する球の中心をとする．点は線分上にあることを示せ．
(3) 四面体に内接する球の半径を求めよ．
方針
立方体に座標を入れ、平面 と直線 の交点を求める。図示部分では、長方形 内で平面 との交線が と の中点を結ぶ線分になることを示す。内接球の中心は四面体の内心であり、各頂点に対して向かいの面積を重みとした座標で表せる。得られた座標が直線 の条件を満たすことを確認し、半径は面 までの距離として読む。別に、体積と表面積から半径を出す検算もできる。
解答
(1)
座標を とおく。平面 は、3点 を通るので で表される。
長方形 は平面 上にある。この長方形内で平面 と交わる線は を満たす点の集合である。 とすると となるので、下辺 の中点を通る。また とすると 、すなわち点 になる。したがって、長方形 に描く交線は、 と の中点を結ぶ線分である。点 はこの線分と対角線 の交点である。
直線 上の点は、実数 を用いて と表される。これが平面 上にあるとき であるから、 である。したがって である。よって
である。また は から面 、すなわち平面 に下ろした垂線の足なので であり、 である。
(2)
四面体 の各面の面積を求める。面 、、 はいずれも直角二等辺三角形で、面積は である。一方、面 は辺の長さがすべて の正三角形なので、面積は である。
四面体の内接球の中心 は、各頂点に対して向かいの面の面積を重みとして表される。したがって
である。これより
である。
この点は を満たす。一方、直線 上の点 も を満たす。したがって は直線 上にある。また であるから、 は と の間にある。よって は線分 上にある。
(3)
内接球の半径は、中心 からどの面までの距離にも等しい。特に面 は平面 であるから、半径 は の 座標に等しい。よって である。
別解。半径だけなら体積と表面積からも求められる。四面体 の体積は であり、表面積は である。内接球の半径を とすると、四面体は各面を底面、高さ とする4つの三角錐に分けられるから である。したがって となる。