北海道大学 2004年度
文系数学 前期 第1問

解答

$x=a+\frac{1}{a},y=a-\frac{1}{a}$ である。まず $x^2-y^2={\left(a+\frac{1}{a}\right)}^2-{\left(a-\frac{1}{a}\right)}^2=4$ である。また $u=x^2+y^2$ とおくと、

である。$a>0$ より $a^2+\frac{1}{a^2}\geqq 2$ だから $u\geqq 4$ であり、等号は $a^2=1$、すなわち $a=1$ のときに成り立つ。

次に $x^8-y^8$ を $u$ で表す。 $x^8-y^8=(x^4-y^4)(x^4+y^4)$ である。ここで $x^4-y^4=(x^2-y^2)(x^2+y^2)=4u$ である。また $x^2{y}^2=\frac{(x^2+y^2{)}^2-(x^2-y^2{)}^2}{4}=\frac{u^2-16}{4}$ だから、

したがって $x^8-y^8=4u\left(\frac{u^2}{2}+8\right)=2u^3+32u$ である。 $u\geqq 4$ において $2u^3+32u$ は $u$ とともに増加する。よって最小となるのは $u=4$、すなわち $a=1$ のときである。このとき $x=2,y=0$ なので、$x^8-y^8=2^8=256$ である。したがって、求める値は $a=1,\text{最小値 }256$ である。

別解。$v=a^2+a^{-2}$ とおくと、$v\geqq 2$ であり、$x^2=v+2,y^2=v-2$ である。したがって $x^8-y^8=(v+2{)}^4-(v-2{)}^4=16v^3+64v$ となる。これは $v\geqq 2$ で増加するので、$v=2$、すなわち $a=1$ のときに最小となり、最小値は $16\cdot 2^3+64\cdot 2=256$ である。