北海道大学 2003年度理系数学前期第5問解答・解説

問題

半径1の円に内接する正 $n$ 角形が $x y$ 平面上にある．ひとつの辺 $A B$ が $x$ 軸に含まれている状態から始めて，正 $n$ 角形を図のように $x$ 軸上をすべらないようにころがし，再び点 $A$ が $x$ 軸に含まれる状態まで続ける．点 $A$ の描く軌跡の長さを $L (n)$ とする．
% 図は省略

(1) $L (6)$ を求めよ．

(2) $n \to \infty lim L (n)$ を求めよ．

出典：北海道大学 2003年度前期日程第2次学力試験理系前期第5問

方針

正 $n$ 角形が1辺ずつ転がるたびに、接している頂点を中心として角 $2 π / n$ だけ回転する。この間、点 $A$ はその接点を中心とする円弧を描く。接点が $A$ から $j$ 個先の頂点であるとき、円弧の半径は半径1の外接円の弦長 $2 sin (j π / n)$ である。したがって全長は弧長の和 $(2 π / n) \sum_{j = 1}^{n - 1} 2 sin (j π / n)$ になる。(1)は直接和を計算し、(2)は三角和公式または区分求積で極限を求める。

解答

正 $n$ 角形がすべらずに1辺分転がるとき、その瞬間に $x$ 軸上にある頂点を中心として、図形は外角 $\frac{2 π}{n}$ だけ回転する。この間、点 $A$ はその接点を中心とする円弧を描く。

接点が $A$ から数えて $j$ 個先の頂点であるとき、接点から $A$ までの距離は、半径1の円に内接する正 $n$ 角形の弦長なので $2 sin \frac{j π}{n}$ である。再び点 $A$ が $x$ 軸上にくるまで、 $j = 1, 2, \dots, n - 1$ の円弧が現れる。

したがって、軌跡の長さは

L (n) = j = 1 \sum n - 1 \frac{2 π}{n} \cdot 2 sin \frac{j π}{n} = \frac{4 π}{n} j = 1 \sum n - 1 sin \frac{j π}{n}

である。

(1)

$n = 6$ のとき

j = 1 \sum 5 sin \frac{j π}{6} = sin \frac{π}{6} + sin \frac{π}{3} + sin \frac{π}{2} + sin \frac{2 π}{3} + sin \frac{5 π}{6} = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} + 1 + \frac{3}{2} + \frac{1}{2} = 2 + 3 .

よって $L (6) = \frac{4 π}{6} (2 + 3) = \frac{2 π ( 2 + 3 )}{3}$ である。

(2)

三角関数の和の公式を用いると

j = 1 \sum n - 1 sin \frac{j π}{n} = \frac{sin \frac{( n - 1 ) π}{2 n} sin \frac{nπ}{2 n}}{sin \frac{π}{2 n}} = \frac{cos \frac{π}{2 n}}{sin \frac{π}{2 n}}

である。したがって $L (n) = \frac{4 π}{n} \cdot \frac{c o s \frac{π}{2 n}}{s i n \frac{π}{2 n}}$ である。

ここで

\frac{π}{2 n} \to 0, \frac{sin \frac{π}{2 n}}{\frac{π}{2 n}} \to 1, cos \frac{π}{2 n} \to 1

であるから、

n \to \infty lim L (n) = n \to \infty lim \frac{4 π}{n} \cdot \frac{cos \frac{π}{2 n}}{sin \frac{π}{2 n}} = n \to \infty lim \frac{4 π}{n} \cdot \frac{2 n}{π} = 8.

別解。極限だけなら区分求積でも求められる。上で得た式から $L (n) = 4 π \sum_{j = 1}^{n - 1} sin \frac{j π}{n} \cdot \frac{1}{n}$ である。これは $[0, 1]$ 上の関数 $sin (π x)$ の和なので

n \to \infty lim L (n) = 4 π \int_{0}^{1} sin (π x) d x = 4 π \cdot \frac{2}{π} = 8

となる。

北海道大学 2003年度理系数学 前期 第5問

問題

方針

解答

(1)

(2)

北海道大学 2003年度
理系数学前期第5問