北海道大学 2003年度
理系数学 前期 第1問

解答

(1)

交点の $x$ 座標は $x^2=-(x-a{)}^2+b$ を満たす。これを整理すると $2x^2-2ax+a^2-b=0$ である。2つの解を $x_1,x_2$ とすると、解と係数の関係より $x_1+x_2=a,x_1{x}_2=\frac{a^2-b}{2}$ である。

したがって

条件 $x_1-x_2=2$ より $4=2b-a^2$ だから $b=\frac{a^2+4}{2}$ である。

(2)

放物線 $A:y=x^2$ 上の2点 $(x_1,x_1^2)$, $(x_2,x_2^2)$ を結ぶ直線の傾きは $\frac{x_1^2-x_2^2}{x_1-x_2}=x_1+x_2$ である。よって直線 $PQ$ は $y=(x_1+x_2)x-x_1{x}_2$ と書ける。

(1)の条件 $x_1-x_2=2$ のもとでは

である。したがって直線 $PQ$ は $y=ax-\left(\frac{a^2}{4}-1\right)=1+ax-\frac{a^2}{4}$ である。

ここで $a$ は任意の実数として動く。固定した $x$ に対して $1+ax-\frac{a^2}{4}=1+x^2-\frac{(a-2x{)}^2}{4}$ であるから、右辺の最大値は $1+x^2$ であり、これは $a=2x$ のときに実現する。一方、$|a|$ を十分大きくすると $-a^2/4$ の項により値はいくらでも小さくなる。

したがって、直線 $PQ$ の通過する領域は $y\leqq x^2+1$ である。境界 $y=x^2+1$ も含む。

(3)

直線 $PQ$ の傾きは $x_1+x_2=a$ である。したがって、$x$ 座標の差を $d=x_1-x_2$ とすると $|\overrightarrow{PQ}|=d\sqrt{1+a^2}$ である。ここで $x_1>x_2$ なので $d>0$ である。

条件 $|\overrightarrow{PQ}|=2$ より $d^2=\frac{4}{1+a^2}$ である。一方、(1)の計算と同じく $d^2=2b-a^2$ だから $2b-a^2=\frac{4}{1+a^2}$ であり、$b=\frac{1}{2}\left(a^2+\frac{4}{1+a^2}\right)$ である。

線分 $PQ$ の中点の $y$ 座標は

である。したがって中点の $y$ 座標は $\frac{b}{2}=\frac{1}{4}\left(a^2+\frac{4}{1+a^2}\right)$ である。 $s=a^2$ とおくと $s\geqq 0$ であり、求める値は $F(s)=\frac{s}{4}+\frac{1}{1+s}$ の最小値である。微分すると $F^{\prime }(s)=\frac{1}{4}-\frac{1}{(1+s{)}^2}$ である。$F^{\prime }(s)=0$ より $(1+s{)}^2=4$ であり、$s\geqq 0$ だから $s=1$ である。$0\leqq s<1$ では $F^{\prime }(s)<0$、$s>1$ では $F^{\prime }(s)>0$ なので、ここで最小となる。

したがって最小値は $F(1)=\frac{1}{4}+\frac{1}{2}=\frac{3}{4}$ である。