問題
を複素数とし，を虚数単位とする．
(1) が実数となる点全体の描く図形を複素数平面上に図示せよ．
(2) が上で求めた図形上を動くときにの描く図形を複素数平面上に図示せよ．
出典：北海道大学 2003年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第2問
方針
(1)は とおき、 の虚部が0になる条件を計算する。定義できない は最後に除く必要がある。(2)は を と解き、(1)で得た実軸と単位円をそれぞれ 平面へ移す。実軸は 、単位円は 、すなわち虚軸になる。対応しない点、特に と の除外も確認する。
解答
(1)
とおく。ただし、もとの式に分母があるので である。
まず
である。ここで だから、 である。分母の共役を掛けると、虚部の分子は である。したがって、この値が実数となる条件は である。
よって図形 は または である。ただし は式が定義されないので、単位円上の点 は除く。
(2)
を について解く。 より であるから、 で である。
まず、 が実軸上を動く場合を考える。 が実数なら において、分子と分母は互いに共役である。したがって である。逆に かつ なら、 は実数になる。よって実軸部分の像は である。
次に、 が単位円 上を動く場合を考える。 を代入すると であり、 だから である。これは、 平面で と から等距離にある点全体なので、虚軸である。 と書けば である。
ただし、(1)で除いた は に対応するので、 は除く。また はもとの の分母を0にする点であり、有限な には対応しない。したがって単位円部分の像は である。
以上より、 の描く図形は と の和集合である。