問題
曲線 を軸のまわりに回転してできる形の容器に水を満たす．この容器の底に排水口がある．時刻に排水口を開けて排水を開始する．時刻において容器に残っている水の深さを，体積をとする．の変化率はで与えられる．
(1) 水深の変化率をを用いて表せ．
(2) 容器内の水を完全に排水するのにかかる時間を求めよ．
出典：北海道大学 2003年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第3問
方針
水深が のとき、曲線 から高さ における半径は である。したがって水平断面積は 、体積は と求まる。あとは を使って を出す。(2)は初期水深 から までの時間を、微分方程式を分離して積分する。
解答
(1)
高さ における容器の半径を考える。容器は を 軸のまわりに回転してできるので、高さ では である。したがって、その水平断面は半径 の円であり、断面積は である。
水深が のときの水の体積は である。よって である。
変化率の連鎖を用いると である。問題文より だから となる。排水中は なので、 である。
(2)
容器は最初満水であり、曲線は なので、初めの水深は である。完全に排水されたときは である。
(1)より だから、 である。時間は正になるように、 から まで積分して である。したがって である。