北海道大学 2003年度
後期・理系数学 後期 第3問

解答

(1)

球面 $C$ の中心を $(x_0,y_0,z_0)$ とする。$C$ は円板 $B:z=0$ に1点で接し、かつ立体の内部にあるので、球面 $C$ の半径は中心の高さに等しく $z_0$ である。

一方、半球面 $A$ は原点を中心とする半径1の球面 $x^2+y^2+z^2=1$ の上半分である。球面 $C$ がこの球面に内側から接するためには、原点と $C$ の中心との距離に $C$ の半径を足したものが1になればよい。したがって $\sqrt{x_0^2+y_0^2+z_0^2}+z_0=1$ である。

これより $\sqrt{x_0^2+y_0^2+z_0^2}=1-z_0$ である。両辺を2乗して $x_0^2+y_0^2+z_0^2=(1-z_0{)}^2=1-2z_0+z_0^2$ となる。よって $2z_0=1-x_0^2-y_0^2$ であり、$z_0=\frac{1-x_0^2-y_0^2}{2}$ である。

(2)

(1)より $f(x,y)=\frac{1-x^2-y^2}{2}$ である。求める立体は、上側が半球面 $z=\sqrt{1-x^2-y^2}$ で、下側が $z=\frac{1-x^2-y^2}{2}$ である。

極座標 $x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$ を用いると、$0\leqq r\leqq 1$, $0\leqq \theta \leqq 2\pi$ であり、体積 $V$ は

である。

まず ${\int }_0^{1}r\sqrt{1-r^2}dr$ を計算する。$u=1-r^2$ とおくと $du=-2rdr$ だから ${\int }_0^{1}r\sqrt{1-r^2}dr=\frac{1}{2}{\int }_0^1{u}^{1/2}du=\frac{1}{3}$ である。また

である。

したがって

である。