北海道大学 2003年度
後期・理系数学 後期 第1問

解答

(1)

曲線 $C$ を $y=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$ とおく。点 $P$ の $x$ 座標が $u$ のとき、$P=\left(u,\frac{e^u+e^{-u}}{2}\right)$ である。

導関数は $\frac{dy}{dx}=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$ だから、点 $P$ における接線方向ベクトルとして $\left(1,\frac{e^u-e^{-u}}{2}\right)$ が取れる。この長さは $\sqrt{1+{\left(\frac{e^u-e^{-u}}{2}\right)}^2}=\frac{e^u+e^{-u}}{2}$ である。実際、$(e^u+e^{-u}{)}^2-(e^u-e^{-u}{)}^2=4$ を用いればよい。

接線方向 $(1,m)$ に垂直な方向は $(-m,1)$ である。上側を向く単位法線ベクトルは $\left(-\frac{e^u-e^{-u}}{e^u+e^{-u}},\frac{2}{e^u+e^{-u}}\right)$ である。点 $Q$ は $P$ からこの向きに距離1だけ進んだ点なので、

である。

(2)

点 $P$ の速度の大きさは1で、$x$ 成分は正である。$u$ を時刻の関数と見ると、点 $P$ の速度の大きさは

である。これが1に等しいから $\frac{du}{dt}=\frac{2}{e^u+e^{-u}}$ である。

ここで $A=e^u-e^{-u},B=e^u+e^{-u}$ とおく。このとき $A^{\prime }=B,B^{\prime }=A,B^2-A^2=4$ であり、(1)の $Q$ は $Q=\left(u-\frac{A}{B},\frac{B}{2}+\frac{2}{B}\right)$ と書ける。 $u$ で微分すると、$Q$ の第1成分について

である。また第2成分について

である。

したがって、$u$ を変数としたときの $Q$ の速さは

ここで $B>0$ を用いた。

時刻に関する $Q$ の速度の大きさは、これに $du/dt=2/B$ を掛けたものなので

である。

この値は $u=0$ で0をとる。また任意の実数 $u$ について $|e^u-e^{-u}|<e^u+e^{-u}$ であるから、速度の大きさは1より小さい。さらに $|u|$ を大きくすると、この比の絶対値は1に近づく。したがって、速度の大きさのとり得る範囲は $0\leqq v<1$ である。