北海道大学 2003年度
後期・理系数学 後期 第2問

解答

(1)

すべての項が等しくなる初項を $x$ とする。このとき $x=rx(1-x)$ を満たす必要がある。整理すると $x\{r(1-x)-1\}=0$ である。したがって $x=0$ または $r(1-x)-1=0$ である。後者から $x=\frac{r-1}{r}$ を得る。 $0<r<1$ より $r-1<0$ であるから $\frac{r-1}{r}<0$ である。よって、$p<q$ となるように並べると $p=\frac{r-1}{r},q=0$ である。

(2)

まず、$p<a_n<0$ であると仮定して、次の項もこの区間にあり、かつ $a_n<a_{n+1}$ となることを示す。 $a_n<0$ であるから $1-a_n>1>0$ である。したがって $a_{n+1}=r{a}_n(1-a_n)<0$ である。

また

ここで $p=\frac{r-1}{r}<a_n$ だから、両辺に正の数 $r$ を掛けて $rp=r-1<r{a}_n$ である。よって $(r-1)-r{a}_n<0$ である。一方 $a_n<0$ なので、$a_n\{(r-1)-r{a}_n\}>0$ となる。したがって $a_{n+1}-a_n>0$ すなわち $a_n<a_{n+1}$ である。

さらに $a_n>p$ かつ $a_{n+1}>a_n$ なので $p<a_{n+1}<0$ も成り立つ。初項 $a=a_1$ は $p<a_1<0$ を満たすから、数学的帰納法によりすべての自然数 $n$ について $a_n<a_{n+1}$ が成り立つ。

(3)

(2)より、$\{a_n\}$ は単調増加である。またすべての $n$ で $a_n<0$ であるから、上に有界である。したがって $\{a_n\}$ は極限をもつ。その極限を $L$ とする。

漸化式 $a_{n+1}=r{a}_n(1-a_n)$ の両辺で $n\to \infty$ とすると $L=rL(1-L)$ である。よって $L$ は(1)で求めた固定点のどちらかであり、$L=0\text{または}L=\frac{r-1}{r}=p$ である。

しかし、初項が $p<a_1<0$ であり、さらに $\{a_n\}$ は単調増加だから $L\geqq a_1>p$ である。したがって $L=p$ はありえない。残る可能性は $L=0$ である。ゆえに ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=0$ が示された。