問題
2点，を通る直線をとし，中心がで半径が1の球面をとする．点が上にあり点が上にあるとし，線分は直線と線分に垂直であるとする．
(1) 点の存在する範囲を求めよ．
(2) 線分の長さを最小にする点の座標を求めよ．
出典：北海道大学 2002年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第5問
方針
直線 を1つの実数 で と表す。条件 から、QはPを通り に垂直な平面上にある。この平面が球面と交わることがPの存在条件であり、交円上でPから接線を引けることも確認する。(2)は から とし、直線上で を最小化する。
解答
(1)
直線 は2点 、 を通るので と表せる。直線 の方向ベクトルを とする。
条件 より、点Qは点Pを通り に垂直な平面上にある。この平面をHとすると である。球面Cの中心は 、半径は1であるから、Hと球面Cが交わるためには、中心Rから平面Hまでの距離が1以下であればよい。
その距離は
である。したがって必要条件は であり、これは すなわち である。
この条件のもとで、平面Hと球面Cの交わりは円または1点である。さらにPからその交わりの円へ接線を引けば、接点Qで となる。実際、RをHへ射影した点をR'とすると であり、交円の半径の2乗は高々1なので、接線は存在する。
よって点Pの存在する範囲は
である。
(2)
であり、 だから、三角形 はQを直角とする直角三角形である。したがって より である。よって を最小にするには、Pが(1)の範囲を動くときの を最小にすればよい。
である。したがって は のとき最小となる。この値は を満たすので、(1)の範囲内にある。
よって求める点Pは である。