北海道大学 2002年度
理系数学 前期 第3問

解答

(1)

点 $C$ は $C=(x_1+x_2,y_1+y_2)$ であるから、直線 $AC$ の方向ベクトルは $C-A=(x_2,y_2)$ である。したがって直線 $AC$ は $(x,y)=(x_1,y_1)+t(x_2,y_2)$ と表せる。

直線 $AC$ とy軸との交点を $E$ とする。$E$ では $x=0$ であるから $x_1+t{x}_2=0$ より、$x_2\ne 0$ を用いて $t=-\frac{x_1}{x_2}$ である。したがって $E=\left(0,y_1-\frac{x_1{y}_2}{x_2}\right)$ である。

また $D=(x_2,0)$ なので $OD=|x_2|,OE=\left|y_1-\frac{x_1{y}_2}{x_2}\right|$ である。三角形 $ODE$ は直角三角形だから

である。

(2)

楕円 $L$ 上の点を $A=(a\cos u,b\sin u),B=(a\cos v,b\sin v)$ とおく。このとき(1)より

である。したがって $S\leqq \frac{ab}{2}$ である。

等号は $|\sin (u-v)|=1$ のとき、すなわち $u-v$ が $90^{\circ }$ または $-90^{\circ }$ だけずれるときに成り立つ。たとえば $B=(a,0)$、$A=(0,b)$ とすれば条件 $x_2\ne 0$ も満たし、最大値を実現できる。よって最大値は $\boxed{\frac{ab}{2}}$ である。

別解。楕円 $L$ は、単位円上の点 $(\cos u,\sin u)$ を横にa倍、縦にb倍した図形である。(1)の $|x_2{y}_1-x_1{y}_2|/2$ は、原点と2点A,Bでできる三角形の面積でもある。単位円ではこの面積の最大値は $1/2$ であり、横a倍・縦b倍で面積はab倍になるので、最大値は $ab/2$ である。

(3)

(2)で最大値をとるとき $|\sin (u-v)|=1$ である。したがって $\cos (u-v)=0$ である。

点 $C$ の座標を $(X,Y)$ とすると $X=a(\cos u+\cos v),Y=b(\sin u+\sin v)$ である。よって

である。したがって ${\left(\frac{X}{\sqrt{2}a}\right)}^2+{\left(\frac{Y}{\sqrt{2}b}\right)}^2=1$ であり、点 $C$ は指定された楕円上にある。