北海道大学 2002年度理系数学前期第4問解答・解説

問題

$n$ を3以上の自然数とするとき，次を示せ．ただし， $α = cos \frac{2 π}{n} + i sin \frac{2 π}{n}$ とし， $i$ を虚数単位とする．

(1) $α^{k} + \overset{α}{ˉ}^{k} = 2 cos \frac{2 π k}{n}$ ただし， $k$ は自然数とし， $\overset{α}{ˉ}$ は $α$ に共役な複素数とする．

(2) $n = (1 - α) (1 - α^{2}) \dots (1 - α^{n - 1})$

(3) $\frac{n}{2 ^{n - 1}} = sin \frac{π}{n} sin \frac{2 π}{n} \dots sin \frac{n - 1}{n} π$

出典：北海道大学 2002年度前期日程第2次学力試験理系前期第4問

方針

(1)は極形式で $α^{k}$ と共役を足し、虚部が打ち消されることを示す。(2)は $x^{n} - 1 = (x - 1) (x^{n - 1} + \dots + x + 1)$ を用い、1以外のn乗根をすべて因数に並べる。(3)は(2)の両辺の絶対値をとり、各因子の長さ $∣1 - α^{k} ∣$ を半角の正弦で表す。

解答

(1)

$α = cos \frac{2 π}{n} + i sin \frac{2 π}{n}$ であるから、自然数 $k$ について $α^{k} = cos \frac{2 π k}{n} + i sin \frac{2 π k}{n}$ である。また、 $\overset{α}{ˉ} = cos \frac{2 π}{n} - i sin \frac{2 π}{n}$ なので $\overset{α}{ˉ}^{k} = cos \frac{2 π k}{n} - i sin \frac{2 π k}{n}$ である。両者を加えると虚部が消えて $α^{k} + \overset{α}{ˉ}^{k} = 2 cos \frac{2 π k}{n}$ となる。

(2)

$α^{n} = 1$ 、 $α \neq = 1$ であり、 $α, α^{2}, \dots, α^{n - 1}$ は互いに異なる1以外のn乗根である。さらに $x^{n} - 1 = (x - 1) (x^{n - 1} + x^{n - 2} + \dots + x + 1)$ だから、これらは $x^{n - 1} + x^{n - 2} + \dots + x + 1 = 0$ のすべての解である。

したがって、最高次係数1の多項式として

(x - α) (x - α^{2}) \dots (x - α^{n - 1}) = x^{n - 1} + x^{n - 2} + \dots + x + 1

である。ここに $x = 1$ を代入すると $n = (1 - α) (1 - α^{2}) \dots (1 - α^{n - 1})$ を得る。

(3)

(2)の両辺の絶対値をとる。左辺の $n$ は正の実数なので絶対値はnである。 $1 ≦ k ≦ n - 1$ とする。点1と点 $α^{k}$ は単位円上にあり、中心角は $2 π k / n$ であるから、弦の長さは $∣1 - α^{k} ∣ = 2 sin \frac{π k}{n}$ である。ここで $0 < π k / n < π$ なので、 $sin (π k / n) > 0$ である。

よって

n = ∣1 - α ∣ ∣1 - α^{2} ∣ \dots ∣1 - α^{n - 1} ∣ = 2^{n - 1} sin \frac{π}{n} sin \frac{2 π}{n} \dots sin \frac{( n - 1 ) π}{n}

である。したがって

\frac{n}{2 ^{n - 1}} = sin \frac{π}{n} sin \frac{2 π}{n} \dots sin \frac{( n - 1 ) π}{n}

が成り立つ。

北海道大学 2002年度理系数学 前期 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

北海道大学 2002年度
理系数学前期第4問