問題
を微分可能な関数とする．
(1) を自然数とするとき，等式 を満たす関数を求めよ．
(2) 任意の実数，に対して，等式 を満たし，かつ条件およびを満たす関数を求めよ．
出典：北海道大学 2002年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第1問
方針
(1)は両辺に を掛け、積分上端の微分で を取り出す。(2)は区間平均が端点値の平均に等しいという条件を、原始関数を用いて式にし、 と の両方で微分する。任意の2点で割線の傾きが端点の微分係数に一致することから、 が一定、すなわち が一次関数であることを示す。
解答
(1)
与えられた等式は で である。両辺に を掛けると となる。両辺を で微分すると、左辺は積分の上端の微分により であるから を得る。整理して である。
この関数は多項式なので微分可能であり、実際に を満たす。したがって条件を満たす関数はこれである。
(2)
の原始関数を とする。条件は、任意の について である。両辺に を掛けると である。
まず を固定して で微分すると より を得る。次に を固定して で微分すると であるから である。
したがって、任意の について となる。つまり、異なる2点での微分係数がいつも等しいので、 は定数である。よって は一次関数である。 、 より、その一次関数は である。
別解。 を固定した式 を見ると、右辺は の一次式である。任意の で成り立つため、 全体が一次関数でなければならない。この見方でも同じく が得られる。