北海道大学 2002年度
後期・理系数学 後期 第4問

解答

(1)

$OA\perp OC$ であるから $\angle AOC=90^{\circ }$ である。条件より $\angle AOC+\angle BOC=120^{\circ }$ なので $\angle BOC=30^{\circ }$ である。

三角形 $BOC$ に余弦定理を用いると、$OB=OC=r$ だから $C{B}^2=r^2+r^2-2r^2\cos 30^{\circ }=2r^2-\sqrt{3}{r}^2=r^2(2-\sqrt{3})$ である。また $OA\perp OB$ より三角形 $AOB$ は直角二等辺型で $A{B}^2=r^2+r^2=2r^2$ である。したがって

である。

(2)

半径を1として考える。最後に距離はr倍されるだけなので、最大となる角度は変わらない。 $OA$、$OB$ をそれぞれx軸、y軸方向に取り $A=(1,0,0),B=(0,1,0)$ とする。$\angle AOC=\alpha$、$\angle BOC=\beta$ とおくと $\alpha +\beta =120^{\circ }$ である。点Cを $C=(X,Y,Z)$ とすると、内積から $X=\cos \alpha ,Y=\cos \beta$ である。したがって $C=(\cos \alpha ,\cos \beta ,Z)$ と書け、球面上にあるので $Z^2=1-{\cos }^2\alpha -{\cos }^2\beta$ である。

直線ABは平面 $z=0$ 上にあり、xy平面内では $x+y=1$ で表される。よってCから直線ABまでの距離dについて $d^2=Z^2+\frac{(\cos \alpha +\cos \beta -1{)}^2}{2}$ である。

ここで $\alpha =60^{\circ }+t,\beta =60^{\circ }-t$ とおく。すると $\cos \alpha +\cos \beta =2\cos 60^{\circ }\cos t=\cos t$ であり、また ${\cos }^2\alpha +{\cos }^2\beta =\frac{3}{2}-{\cos }^{2}t$ である。したがって $Z^2={\cos }^{2}t-\frac{1}{2}$ であり、点Cが存在するためには ${\cos }^{2}t\geqq \frac{1}{2}$ が必要である。ここでは $\alpha ,\beta$ が角で、$\alpha +\beta =120^{\circ }$ なので $\cos t>0$ と見てよく、$\frac{1}{\sqrt{2}}\leqq \cos t\leqq 1$ である。

よって

である。$u=\cos t$ とおくと、$1/\sqrt{2}\leqq u\leqq 1$ で $d^2=\frac{3}{2}{u}^2-u$ である。この関数は $\frac{d}{du}\left(\frac{3}{2}{u}^2-u\right)=3u-1>0$ を満たすので、この範囲ではuが大きいほど大きい。したがって最大は $u=1$ のとき、すなわち $t=0$ のときである。

よって $\boxed{\angle AOC=60^{\circ }}$ である。