北海道大学 2002年度後期・理系数学後期第1問解答・解説

問題

次のように定義される数列 ${a_{n}}$ について問いに答えよ．

a_{1} = b

a_{n + 1} = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{1}{a _{n}} 2 a_{n} (a_{n} ≧ 1) (a_{n} < 1) (n = 1, 2, \dots\dots)

(1) $b = 2^{k}$ （ $k$ は整数）のとき， $n \to \infty lim a_{n}$ を求めよ．

(2) $0 < b < 1$ とする． $b \neq = 2^{k}$ （ $k$ は整数）のとき， $a_{n} < 1 < a_{n + 1}$ となる最小の自然数 $n$ を $m$ とする．このとき，数列 ${a_{n}}$ の第 $n$ 項 $a_{n}$ を求めよ．

出典：北海道大学 2002年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第1問

方針

写像 $T (x)$ を、 $x < 1$ では2倍、 $x ≧ 1$ では逆数をとる操作として見る。(1)では初期値が2の整数乗なので、有限回の操作で必ず1に到達することを示す。(2)では $0 < b < 1$ のため、初めて1を越えるまでは2倍を繰り返し、その直後から4周期に入ることを $λ = 2^{m} b$ とおいて明示する。

解答

(1)

$b = 2^{k}$ とする。 $k = 0$ のときは $a_{1} = 1$ であり、漸化式より $a_{2} = \frac{1}{a _{1}} = 1$ なので、以後すべて1である。 $k > 0$ のとき、 $a_{1} = 2^{k} ≧ 1$ だから $a_{2} = 2^{- k}$ である。その後は1未満の間は2倍されるので、有限回で1に到達する。具体的には $2^{- k}, 2^{- k + 1}, \dots, \frac{1}{2}, 1$ と進む。 $k < 0$ のときは $a_{1} = 2^{k} < 1$ であり、はじめから2倍を繰り返して有限回で1に到達する。

いずれの場合も、ある番号以後は $1 \mapsto 1$ となる。したがって $n \to \infty lim a_{n} = 1$ である。

(2)

$0 < b < 1$ 、 $b \neq = 2^{k}$ とする。 $a_{n} < 1$ の間は $a_{n + 1} = 2 a_{n}$ なので、初めて1を越える直前までは $a_{n} = 2^{n - 1} b$ である。 $m$ の定義より $a_{m} < 1 < a_{m + 1}$ であり、したがって $2^{m - 1} b < 1 < 2^{m} b$ である。

ここで $λ = 2^{m} b$ とおく。すると $1 < λ < 2$ であり、 $a_{m} = 2^{m - 1} b = \frac{λ}{2}, a_{m + 1} = 2^{m} b = λ$ である。

この後の項を漸化式で順に求めると、 $1 < λ < 2$ より $a_{m + 2} = \frac{1}{λ}$ である。これは1未満なので $a_{m + 3} = \frac{2}{λ}$ となる。さらに $1 < λ < 2$ だから $2/ λ > 1$ であり、次は逆数をとって $a_{m + 4} = \frac{λ}{2}$ である。これは $a_{m}$ と同じなので、以後は4周期で繰り返す。

よって第n項は次のように表される。まず $1 ≦ n ≦ m + 1$ では $a_{n} = 2^{n - 1} b$ である。また $j = 0, 1, 2, \dots$ に対して

a_{m + 4 j} = \frac{λ}{2}, a_{m + 4 j + 1} = λ, a_{m + 4 j + 2} = \frac{1}{λ}, a_{m + 4 j + 3} = \frac{2}{λ}

である。ただし $λ = 2^{m} b$ である。

北海道大学 2002年度後期・理系数学 後期 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

北海道大学 2002年度
後期・理系数学後期第1問