北海道大学 2002年度
後期・理系数学 後期 第2問

解答

$f(0)=0$ より $f(x)=A{x}^2+Bx$ とおける。条件 $f(-1)=-1$ から $A-B=-1$ である。したがって $B=A+1$ である。

また $g(0)=0$ より $g(x)=C{x}^2+Dx$ とおける。条件 $g(1)=0$ から $C+D=0$ である。さらに $f^{\prime }(x)=2Ax+B,g^{\prime }(x)=2Cx+D$ だから、$f^{\prime }(0)=g^{\prime }(0)$ より $B=D$ である。

以上から $B=A+1,D=A+1,C=-(A+1)$ である。したがって $f(x)=A{x}^2+(A+1)x,g(x)=-(A+1)x^2+(A+1)x$ と表せる。

このとき $f^{\prime }(x)=2Ax+A+1,g^{\prime }(x)=(A+1)(1-2x)$ である。求める積分を $I(A)$ とおくと

である。

まず

である。また ${\int }_0^1(1-2x{)}^{2}dx=\frac{1}{3}$ より ${\int }_0^1\{(A+1)(1-2x){\}}^{2}dx=\frac{(A+1{)}^2}{3}$ である。したがって $I(A)=\frac{A^2}{3}+1+\frac{(A+1{)}^2}{3}=\frac{2}{3}\left(A^2+A+2\right)$ である。

平方完成すると $A^2+A+2={\left(A+\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{7}{4}$ であるから、$I(A)$ は $A=-\frac{1}{2}$ のとき最小となる。このとき $B=A+1=\frac{1}{2},C=-(A+1)=-\frac{1}{2},D=\frac{1}{2}$ である。

よって求める2次関数は $\boxed{f(x)=-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{2}x,g(x)=-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{2}x}$ である。