北海道大学 2002年度
後期・理系数学 後期 第3問

解答

(1)

共有点では $y=a{x}^2+b$ かつ $x^2+y^2=r^2$ である。これを代入すると $x^2+(a{x}^2+b{)}^2=r^2$ である。ここで $u=x^2(u\geqq 0)$ とおくと $a^2{u}^2+(2ab+1)u+b^2-r^2=0$ を得る。

条件 $0<r<-b$ から、まず $b<0$ である。また $r<-b$ なので $b^2-r^2>0$ であり、上のuの2次方程式の定数項は正である。

正の異なる2根をもつと、各正の根 $u$ から $x=\pm \sqrt{u}$ が出るため、共有点は4つになる。負の根は共有点を与えない。したがって共有点がちょうど2つになるには、uの方程式が正の重解をもつ必要がある。

判別式を0とすると $(2ab+1{)}^2-4a^2(b^2-r^2)=0$ である。整理すると $4ab+1+4a^2{r}^2=0$ すなわち $r^2=-\frac{4ab+1}{4a^2}$ である。また重解は $u=-\frac{2ab+1}{2a^2}$ であるから、これが正である条件は $2ab+1<0$ すなわち $ab<-\frac{1}{2}$ である。

この条件と $b<0$ から $a>0$ である。また $r^2=-\frac{4ab+1}{4a^2}>0$ であり、さらに $b^2-r^2=b^2+\frac{4ab+1}{4a^2}=\frac{(2ab+1{)}^2}{4a^2}>0$ なので $r<-b$ も満たされる。

したがって求める条件は $\boxed{b<0,ab<-\frac{1}{2}}$ である。

(2)

(1)の条件から $b<0$、$a>0$ である。そこで $c=-b(c>0)$ とおくと、条件 $ab<-1/2$ は $ac>\frac{1}{2}$ となる。求めたい量は $a^2+b^2=a^2+c^2$ である。

相加相乗平均より $a^2+c^2\geqq 2ac$ である。ここで $ac>1/2$ だから $a^2+c^2>1$ である。

逆に、任意の $T>1$ に対して $a=c=\sqrt{\frac{T}{2}}$ とおけば $a^2+c^2=T$ であり、$ac=\frac{T}{2}>\frac{1}{2}$ を満たす。このとき $b=-c<0$ とすれば(1)の条件を満たす。

したがって $a^2+b^2$ の値の範囲は $\boxed{a^2+b^2>1}$ である。