北海道大学 2001年度後期・理系数学後期第4問解答・解説

問題

$n$ を2以上の整数とし，周囲の長さが2の正 $2 n$ 角形 $K$ と， $K$ の一つの頂点 $P$ を考える．

(1) $K$ と同じ平面上にある長さが $\frac{1}{n}$ 以下のひもで， $K$ の内部を通らずに点 $P$ と結べる点の全体がなす図形の面積を求めよ．

(2) $K$ と同じ平面上にある長さが1以下のひもで， $K$ の内部を通らずに点 $P$ と結べる点の全体がなす図形の面積を $S_{n}$ とする．極限 $n \to \infty lim S_{n}$ を求めよ．

出典：北海道大学 2001年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第4問

方針

正 $2 n$ 角形の1辺は $1/ n$ 。ひもが内部を通らないように動く領域は、頂点でひもを折り返して外側に展開した扇形の和として数える。(1)は長さ $1/ n$ なので出発点 $P$ の外側の扇形だけでよい。(2)は長さ1のひもが左右に $k$ 辺回り込んだ各頂点で、残り長さ $1 - k / n$ と外角 $π / n$ の扇形を足し、平方和の極限を取る。

解答

(1)

正 $2 n$ 角形 $K$ の周囲の長さは2であるから、1辺の長さは $\frac{2}{2 n} = \frac{1}{n}$ である。

正 $2 n$ 角形の内角は $\frac{( 2 n - 2 ) π}{2 n} = π - \frac{π}{n}$ である。したがって、頂点 $P$ の外側の角は $2 π - (π - \frac{π}{n}) = π + \frac{π}{n}$ である。

長さが $1/ n$ 以下のひもでは、隣の頂点を回り込んだ先に正の面積をもつ領域はできない。したがって、点 $P$ を中心とし、半径 $1/ n$ 、中心角 $π + π / n$ の扇形の面積だけを考えればよい。よって面積は

\frac{1}{2} (π + \frac{π}{n}) (\frac{1}{n})^{2} = \frac{π ( n + 1 )}{2 n ^{3}}

である。したがって $\frac{π ( n + 1 )}{2 n ^{3}}$ である。

(2)

長さ1のひもを考える。まず、出発点 $P$ の外側には、半径1、中心角 $π + π / n$ の扇形ができる。その面積は $\frac{1}{2} (π + \frac{π}{n})$ である。

次に、 $P$ から左右どちらかに $k$ 個の辺を回り込んだ頂点を考える。そこまでに使うひもの長さは $k / n$ であるから、残りの長さは $1 - \frac{k}{n}$ である。 $k = 1, 2, \dots, n - 1$ について、左右2方向に同じ領域ができる。各頂点で新しく開く角は正多角形の外角 $\frac{π}{n}$ である。

したがって

S_{n} = \frac{1}{2} (π + \frac{π}{n}) + 2 k = 1 \sum n - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{π}{n} (1 - \frac{k}{n})^{2}

である。ここで $j = n - k$ と置き換えると

k = 1 \sum n - 1 (1 - \frac{k}{n})^{2} = j = 1 \sum n - 1 (\frac{j}{n})^{2}

だから

S_{n} = \frac{π}{2} + \frac{π}{2 n} + \frac{π}{n} j = 1 \sum n - 1 (\frac{j}{n})^{2}

である。

さらに $\sum_{j = 1}^{n - 1} j^{2} = \frac{( n - 1 ) n ( 2 n - 1 )}{6}$ より

\frac{1}{n} j = 1 \sum n - 1 (\frac{j}{n})^{2} = \frac{( n - 1 ) ( 2 n - 1 )}{6 n ^{2}}

である。したがって $lim_{n \to \infty} S_{n} = \frac{π}{2} + π \cdot \frac{1}{3} = \frac{5 π}{6}$ である。よって $n \to \infty lim S_{n} = \frac{5 π}{6}$ である。

北海道大学 2001年度後期・理系数学 後期 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

北海道大学 2001年度
後期・理系数学後期第4問