北海道大学 2001年度後期・理系数学後期第2問解答・解説

問題

つぎの問いに答えよ．ただし， $e$ は自然対数の底とする．

(1) 方程式 $e^{x} - e^{- x} = 2 x$ の解は $x = 0$ に限ることを示せ．

(2) $p$ を実数とする． $\int_{1/ e}^{e} t^{p - 1} d t = 2$ が成り立つのは $p = 0$ の場合に限ることを示せ．

出典：北海道大学 2001年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第2問

方針

(1)は左辺から右辺を引いた $h (x) = e^{x} - e^{- x} - 2 x$ を考え、導関数 $e^{x} + e^{- x} - 2 ≧ 0$ で単調性を示す。等号の位置と $h (0) = 0$ から解を一意にする。(2)は $p = 0$ を直接確認し、 $p \neq = 0$ では積分値を $(e^{p} - e^{- p}) / p$ と計算して(1)の方程式へ帰着する。

解答

(1)

$h (x) = e^{x} - e^{- x} - 2 x$ とおく。すると $h^{'} (x) = e^{x} + e^{- x} - 2$ である。相加平均・相乗平均より $e^{x} + e^{- x} ≧ 2$ であり、等号は $e^{x} = e^{- x}$ 、すなわち $x = 0$ のときだけである。よって $h^{'} (x) ≧ 0$ であり、 $h$ は増加関数である。さらに $x \neq = 0$ を含む区間では導関数が正になる部分をもつので、 $h$ は実質的に一方向にしか進まない。 $h (0) = 0$ であるから、 $x > 0$ では $h (x) > 0$ 、 $x < 0$ では $h (x) < 0$ となる。したがって $e^{x} - e^{- x} = 2 x$ の解は $x = 0$ に限られる。

(2)

まず $p = 0$ のとき

\int_{1/ e}^{e} t^{p - 1} d t = \int_{1/ e}^{e} \frac{1}{t} d t = [lo g t]_{1/ e}^{e} = 2

である。

次に $p \neq = 0$ とする。このとき

\int_{1/ e}^{e} t^{p - 1} d t = [\frac{t ^{p}}{p}]_{1/ e}^{e} = \frac{e ^{p} - e ^{- p}}{p}

である。これが2に等しいなら $e^{p} - e^{- p} = 2 p$ が成り立つ。(1)よりこの方程式の解は $p = 0$ に限られるが、これは $p \neq = 0$ に反する。

したがって条件をみたすのは $p = 0$ の場合に限る。

北海道大学 2001年度後期・理系数学 後期 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

北海道大学 2001年度
後期・理系数学後期第2問