北海道大学 2001年度
後期・理系数学 後期 第3問
- 試験区分
- 後期日程 第2次学力試験
- 対象
- 理系
- 分野
- 行列（問題が明示的に行列を扱う場合、または出題範囲が許す場合のみ）
- 解法
- 式変形、文字消去、恒等式比較
- 難易度
- 5 / 10 計算量 4 / 10 目安 —
問題
2次の正方行列
A=(9−2−26),X=(xzzy)(x,y,zは実数)
に対して，AX=XAが成り立っているとき，つぎの問いに答えよ．
(1) zを，x，yで表せ．
(2) Xはある実数p，qに対して
X=p(1224)+q(4−2−21)
と表せることを示せ．
出典：北海道大学 2001年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期 第3問
方針
まず AX−XA を成分で計算し、非対角成分から z=2(y−x)/3 を得る。(2)は指定された2つの行列の係数 p,q を未知数として、対角成分 x,y から連立方程式で p,q を決める。最後に非対角成分 2p−2q が(1)の z と一致することを確認すればよい。
解答
(1)
成分を計算する。
A=(9−2−26),X=(xzzy)
であるから
AX=(9x−2z−2x+6z9z−2y−2z+6y)
であり
XA=(9x−2z9z−2y−2x+6z−2z+6y)
である。したがって
AX−XA=(0−2x+2y−3z2x−2y+3z0)
となる。 AX=XA であるから 2x−2y+3z=0 である。よって z=32(y−x) である。
(2)
指定された形で表せるかを調べるため
X=p(1224)+q(4−2−21)
とおく。右辺を成分で書くと
(p+4q2p−2q2p−2q4p+q)
である。したがって x=p+4q,y=4p+q となるように p,q を決めればよい。
この連立方程式を解くと p=15−x+4y,q=154x−y である。このとき非対角成分は
2p−2q=2(15−x+4y−154x−y)=32(y−x)
である。これは(1)で求めた z と一致する。
よって
X=p(1224)+q(4−2−21)
と表せる。ただし p=15−x+4y,q=154x−y である。
